Traitement de signaux pour la détection de séismes et leur multilatération

Dalibard Louis 31 mars 2025

Table des matières

1 Séismes  2
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ondes P et S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Différence de vitesse de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Théorie  3
2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 DSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Modélisation de la propagation des ondes sismiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3.1 Calcul du temps de propagation selon iasp91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3.2 Tabulation et interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Multilatération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Bibliographie  4

1 Séismes

1.1 Introduction

Un séisme ou tremblement de terre est une secousse du sol résultant de la libération brusque d’énergie accumulée par les contraintes exercées sur les roches. Cette libération d’énergie se fait par rupture le long d’une faille, généralement préexistante. Plus rares sont les séismes dus à l’activité volcanique ou d’origine artificielle (explosions par exemple). Le lieu de la rupture des roches en profondeur se nomme le foyer ; la projection du foyer à la surface est l’épicentre du séisme. Le mouvement des roches près du foyer engendre des vibrations élastiques qui se propagent, sous la forme de paquets d’ondes sismiques, autour et au travers du globe terrestre.^{1}

2

1.2 Ondes P et S

Les ondes sismiques, ou ondes élastiques, sont des mouvements vibratoires qui se propagent à travers un milieu matériel et peuvent le modifier irréversiblement si leur amplitude est suffisante. Elles sont engendrées par un événement initial, généralement un séisme. L’impulsion de départ déplace des atomes, qui en poussent d’autres à leur tour avant de reprendre leur place, ces déplacements oscillatoires se propageant ensuite de proche en proche. Un séisme émet des ondes dans toutes les directions de l’espace.

La physique des milieux élastiques est régie par l’équation de Navier, qui implique l’existence de deux grands types d’ondes, mises en évidence expérimentalement : les ondes de volume qui traversent l’intérieur de la Terre et les ondes de surface qui se propagent dans une couche d’épaisseur limitée en suivant la surface terrestre. Les ondes de volume se subdivisent par ailleurs en ondes longitudinales (ondes P) et transversales (ondes S).

Figure 1 – Ondes P  Figure 2 – Ondes S

1.3 Différence de vitesse de propagation

Les ondes P ou ondes primaires, appelées aussi ondes de compression (en anglais Pressure waves) ou ondes longitudinales. Le déplacement du sol qui accompagne leur passage se fait par des dilatations et des compressions successives. Ces déplacements du sol sont parallèles à la direction de propagation de l’onde. Elles se propagent dans tous les milieux et sont les plus rapides (autour de 6 km/s près de la surface), parcourant le chemin le plus court, même par noyau terrestre, et sont donc les premières enregistrées sur les sismogrammes. Elles sont responsables du grondement sourd que l’on peut entendre au début d’un tremblement de terre.

1. https ://fr.wikipedia.org/wiki/Séisme

2. https ://www.usgs.gov/media/images/normal-dip-slip-fault

Les ondes S ou ondes secondaires, appelées aussi ondes de cisaillement (Shear waves) ou ondes transversales. À leur passage, les mouvements du sol s’effectuent perpendiculairement au sens de propagation de l’onde. Ces ondes ne se propagent pas dans les milieux liquides, elles sont en particulier arrêtées par le noyau externe de la Terre. Leur vitesse est d’environ 4 km/s. Elles apparaissent en deuxième sur les sismogrammes.^{3}

Figure 3 – 6 km/s (ondes P) vs 4 km/s (ondes S)

On peut donc exploiter les temps d’arrivée de ces différentes ondes pour localiser un séisme.

2 Théorie

2.1 Principe

Différentes étapes :

1. Acquisition de données en temps réel (SeedLink)

2. Reconnaissance d’un séisme et mesure automatique des temps

3. Calcul de la position et de la magnitude (a) Modélisation de la propagation des ondes sismiques

(b) Méthode numérique d’optimisation de fonction à plusieurs variables pour la multilatération

2.2 DSP

2.3 Modélisation de la propagation des ondes sismiques

2.3.1 Calcul du temps de propagation selon iasp91

Figure 4 – TauPy  Figure 5 – iasp91

2.3.2 Tabulation et interpolation

3. https ://fr.wikipedia.org/wiki/Onde_sismique

Figure 6 – Visualization des deux tables précalculées

2.4 Multilatération

Une fois qu’on a une table des différentes vitesses de propagation pour les différentes profondeurs et les ondes P et S ainsi que nos mesures, on peut résoudre l’équation avec nos mesures. Sauf qu’on a plusieurs mesures donc on veut une moyenne pour nos mesures pour avoir le meilleur résultat et nos équations ne sont pas linéaires comme vous pouvez le constater sur la diapositive précédente. Ainsi, on va utiliser une méthode pour trouver le minimum sur une fonction d’erreur. E(depth, lat, lon, epoch, obs) = ∑ _{i}(\frac{(obs_{i}S−epoch)−S(depth,greatCircleAngle(lat,lon,lat_{i},lon_{i})}{obs_{i}S−epoch} )^{2} +(\frac{(obs_{i}P −epoch)−P (depth,greatCircleAngle(lat,lon,lat_{i},lon_{i})}{obs_{i}P −epoch} )^{2}

O(( p κ^{3}) T+ ( p κ)( T^{2} |I^{∗}| N_{b} M))

)#ofnodes ; )#ofgraphsin _{T} )max.indegreein _{T}

Figure 7 – Implémentation de la fonction d’erreur

Cf. https://en.wikipedia.org/wiki/Nelder-Mead_method And their vis.

3 Bibliographie