1\documentclass[t]{beamer}
2\usepackage[T1]{fontenc}
3\usepackage[utf8]{inputenc}
4\usepackage[french]{babel}
5\usepackage{lmodern}
6\usepackage{amsmath}
7\usepackage{amsfonts}
8\usepackage{amssymb}
9\usepackage{amsthm}
10\usepackage{graphicx}
11\usepackage{color}
12\usepackage{xcolor}
13\usepackage{url}
14\usepackage{theorem}
15\usepackage{textcomp}
16\usepackage{listings}
17\usepackage{hyperref}
18%\usepackage{glossaries}
19\usepackage{parskip}
20\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb}
21\usepackage{stmaryrd}
22\usepackage{graphicx}
23\usepackage{subfig}
24\usepackage{longtable}
25\usepackage{pgfplots}
26\usepackage{nicematrix}
27\usepackage[table]{xcolor}
28\usepackage{tikz}
29\usepackage{tikz-3dplot}
30\usetikzlibrary{arrows.meta}
31\usepackage{assets/texpackages/annotate-equations}
32\graphicspath{ {./assets/} }
33\usetheme{Berkeley}
34\setbeamerfont{section in toc}{size=\fontsize{8}{10}\selectfont}
35\setbeamerfont{subsection in toc}{size=\fontsize{7}{9}\selectfont}
36
37\title[DSP et Sismologie]{Traitement de signaux pour la détection de séismes et leur multilatération}
38\subtitle{Théorie, pratique et résultats}
39
40\author[Dalibard]{Dalibard Louis}
41\date{\today}
42
43% Define custom colors
44\definecolor{mmi1}{HTML}{FFFFFF}
45\definecolor{mmi2}{HTML}{BFCCFF}
46\definecolor{mmi3}{HTML}{A0E6FF}
47\definecolor{mmi4}{HTML}{80FFFF}
48\definecolor{mmi5}{HTML}{7AFF93}
49\definecolor{mmi6}{HTML}{FFFF00}
50\definecolor{mmi7}{HTML}{FFC800}
51\definecolor{mmi8}{HTML}{FF9100}
52\definecolor{mmi9}{HTML}{FF0000}
53\definecolor{mmi10}{HTML}{C80000}
54\definecolor{mmi11}{HTML}{A40000}
55\definecolor{mmi12}{HTML}{800000}
56\begin{document}
57\begin{frame}
58 \titlepage
59\end{frame}
60\AtBeginSection[] { \begin{frame}\frametitle{Table des contenus} \tableofcontents[currentsection]\end{frame} }
61
62\section{Séismes}
63\begin{frame}
64 \frametitle{Introduction}
65 \begin{center}
66 \includegraphics[width=8cm, trim={0 0 0 0}, clip]{eq-ed-fault-labeled.png}
67 \end{center}
68\end{frame}
69\begin{frame}
70 \frametitle{Ondes P et S}
71 \begin{figure}%
72 \centering
73 \subfloat[\centering Ondes P]{{\includegraphics[width=4cm, trim={0 0 0 0}, clip]{Onde_compression_impulsion_1d_30_petit.png}}}%
74 \qquad
75 \subfloat[\centering Ondes S]{{\includegraphics[width=4cm, trim={0 0 0 0}, clip]{Onde_cisaillement_impulsion_1d_30_petit.png}}}%
76 \caption{Ondes P et S}%
77 \label{fig:ondespets}%
78\end{figure}
79\end{frame}
80
81\begin{frame}
82 \frametitle{Ondes P et S}
83 \begin{center}
84 \includegraphics[width=7cm, trim={0 12.5mm 0cm 2cm}, clip]{2025-03-26T23:29:53,572838335+01:00.png}
85 \captionof{figure}{6 km/s (ondes P) vs 4 km/s (ondes S)}
86 \end{center}
87\end{frame}
88
89\section{Théorie}
90\begin{frame}
91 \frametitle{Principe}
92 Différentes étapes:
93 \begin{enumerate}
94 \item Acquisition de données en temps réel (SeedLink)
95 \item Reconnaissance d'un séisme et mesure automatique des temps
96 \item Calcul de la position et de la magnitude
97 \begin{enumerate}
98 \item Modélisation de la propagation des ondes sismiques
99 \item Méthode numérique d'optimisation de fonction à plusieurs variables pour la multilatération
100 \item Calcul de la magnitude
101 \end{enumerate}
102 \end{enumerate}
103\end{frame}
104
105\subsection{DSP}
106\begin{frame}
107\frametitle{Acquisition des données}
108\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
109
110\tiny
111\begin{longtable}{|l|l|}
112 \hline
113 \textbf{Name} & \textbf{Host} \\
114 \hline
115 AusPass & auspass.edu.au \\
116 BGR & eida.bgr.de \\
117 CISMID & www.cismid.uni.edu.pe \\
118 ENS & ephesite.ens.fr \\
119 \dots & \dots \\
120 Red Sìsmica Baru & helis.redsismicabaru.com \\
121 RESIF & rtserve.resif.fr \\
122 SANET & 147.213.113.73 \\
123 RSIS & rsis1.on.br \\
124 SCSN-USC (South Carolina Seismic Network) & eeyore.seis.sc.edu:6382 \\
125 Seisme IRD & rtserve.ird.nc \\
126 Staneo & vibrato.staneo.fr \\
127 SNAC NOA & snac.gein.noa.gr \\
128 TexNet & rtserve.beg.utexas.edu \\
129 Thai Meteorological Department & 119.46.126.38 \\
130 UFRN (Universidade Federal do Rio Grande do Norte) & sislink.geofisica.ufrn.br \\
131 Unical Universita Della Calabria & www.sismocal.org \\
132 UNITS Università degli studi di Trieste & rtweb.units.it \\
133 UNIV-AG Université des Antilles & seedsrv0.ovmp.martinique.univ-ag.fr \\
134 Universidade de Évora & clv-cge.uevora.pt \\
135 Universidad de Colima & 148.213.24.15 \\
136 UPR & worm.uprm.edu \\
137 USGS & cwbpub.cr.usgs.gov \\
138 USP-IAG & seisrequest.iag.usp.br \\
139 \hline
140\end{longtable}
141\end{frame}
142\begin{frame}
143\frametitle{Extraction des temps d'arrivée}
144\begin{center}
145 \includegraphics[width=10cm, trim={0 0 0 0}, clip]{R0ED0.EHZ-1743142835749.9944-cropped.png}\\
146 \captionof{figure}{Exemple d'un enregistrement de sismographe}
147\end{center}
148\end{frame}
149\begin{frame}
150\frametitle{Convolution}
151\begin{center}
152 \begin{center}
153\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
154 \begin{axis}[
155 axis lines = middle,
156 xlabel = {$x$},
157 ylabel = {$y$},
158 samples=300,
159 domain=-6:6,
160 legend pos=north east,
161 width=2\textwidth,
162 height=0.7\textheight
163 ]
164 % Define the functions
165 \addplot[blue, thick] {sin(deg(x))} node[right] {\footnotesize $f(x) = \sin x$};
166 \addplot[red, thick] {cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $g(x) = \cos 2x$};
167 \addplot[green, thick] {sin(deg(x)) + cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $h(x) = f(x) + g(x)$};
168
169 % Add legend
170 \legend{$f(x) = \sin x$, $g(x) = \cos 2x$, $h(x) = f(x) + g(x)$}
171 \end{axis}
172\end{tikzpicture}
173\end{center}
174\begin{center}
175\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
176 \begin{axis}[
177 axis lines = middle,
178 xlabel = {$x$},
179 ylabel = {$y$},
180 samples=300,
181 domain=-6:6,
182 legend pos=north east,
183 width=2\textwidth,
184 height=0.7\textheight
185 ]
186 % Define the functions
187 \addplot[blue, thick] {sin(deg(x))} node[right] {\footnotesize $f(x) = \sin x$};
188 \addplot[red, thick] {cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $g(x) = \cos 2x$};
189 \addplot[green, thick] {sin(deg(x)) * cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $h(x) = f(x) \cdot g(x)$};
190
191 % Add legend
192 \legend{$f(x) = \sin x$, $g(x) = \cos 2x$, $h(x) = f(x) \cdot g(x)$}
193 \end{axis}
194\end{tikzpicture}
195\end{center}
196\begin{center}
197\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
198 \begin{axis}[
199 axis lines = middle,
200 xlabel = {$x$},
201 ylabel = {$y$},
202 samples=300,
203 domain=-6:6,
204 legend pos=north east,
205 width=2\textwidth,
206 height=0.7\textheight
207 ]
208 % Define the functions
209 \addplot[blue, thick] {sin(deg(x))} node[right] {\footnotesize $f(x) = \sin x$};
210 \addplot[red, thick] {cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $g(x) = \cos 2x$};
211 \addplot[green, thick] {0} node[right] {\footnotesize $h(x) = (f*g)(x)$};
212
213 % Add legend
214 \legend{$f(x) = \sin x$, $g(x) = \cos 2x$, $h(x) = (f*g)(x) = 0$}
215 \end{axis}
216\end{tikzpicture}
217\end{center}
218\end{center}
219\end{frame}
220\begin{frame}
221\frametitle{Convolution}
222Soit $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $\mathbb{R}$.
223Pour tout $t \in \mathbb{R}$,
224\[ (f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot g(t-x) dx \]
225
226Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{C}$.
227Pour tout $n \in \mathbb{Z}$,
228\[ (f*g)[n]=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} f[m] \cdot g[n-m] \]
229
230Pour des fonctions périodiques, on intègre sur une période.
231Pour tout $t \in \mathbb{R}$,
232\[ (f*g)(t)=\int_{0}^{T} f(x) \cdot g(t-x) dx \]
233\end{frame}
234
235\begin{frame}
236\frametitle{Propriétés algébriques de la convolution}
237\begin{itemize}
238\item Commutatif
239
240On remarquera que si \[ (f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot g(t-x) dx \]
241
242Et on fait le changement de variable $u=t-x$
243
244On a \[ (f*g)(t)=\int_{+\infty}^{-\infty} f(t-u) \cdot g(u) -du\]
245\[=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-u) \cdot g(u) du=(g*f)(t)\]
246\end{itemize}
247\end{frame}
248
249\begin{frame}
250\frametitle{Propriétés algébriques de la convolution}
251\begin{itemize}
252\item Distributif
253\[ f*(g+h)= f*g+f*h \]
254Par linéarité de l'intégrale.
255\item Associatif
256\[ (f*g)*h= f*(g*h) \]
257C'est une conséquence du théorème de Fubini.
258\end{itemize}
259
260L'espace des fonctions intégrables muni de $*$ forme un demi-groupe commutatif (car pas d'élement neutre).
261\end{frame}
262
263\begin{frame}
264\frametitle{Exemple avec des combinaisons de dés}
265\begin{center}
266\vspace*{0.75cm}
267 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
268 % Define Dice Faces
269 \def\diceA{1,2,3,4,5,6} % Top Die (Static)
270 \def\diceB{6,5,4,3,2,1} % Bottom Die (Sliding)
271
272 % Define step spacing
273 \def\stepSpace{3}
274
275 % Loop through each step
276 \foreach \step in {-5,-4,-3,-2} {
277 \pgfmathsetmacro{\sommedonnant}{int(7 + \step)}
278 % Label step number
279 \node[anchor=east] at (-0.5, -\step*3) {Somme donnant \sommedonnant:};
280
281 % Top Row - Fixed Dice
282 \foreach \x [count=\i] in \diceA {
283 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i, -\step*3) {\x};
284 }
285
286 % Bottom Row - Sliding Dice
287 \foreach \x [count=\i] in \diceB {
288 \pgfmathsetmacro{\sumval}{int(\i + \step)}
289 \ifnum \sumval > 0 \ifnum \sumval < 7 \node[draw=red, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
290 \else
291 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
292 \fi
293 \else
294 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
295 \fi
296 }
297 }
298 \end{tikzpicture}
299\end{center}
300\end{frame}
301\begin{frame}
302\frametitle{Exemple avec des combinaisons de dés}
303\begin{center}
304\vspace*{0.75cm}
305 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
306 % Define Dice Faces
307 \def\diceA{1,2,3,4,5,6} % Top Die (Static)
308 \def\diceB{6,5,4,3,2,1} % Bottom Die (Sliding)
309
310 % Define step spacing
311 \def\stepSpace{3}
312
313 % Loop through each step
314 \foreach \step in {-1,0,1,2} {
315 \pgfmathsetmacro{\sommedonnant}{int(7 + \step)}
316 % Label step number
317 \node[anchor=east] at (-0.5, -\step*3) {Somme donnant \sommedonnant:};
318
319 % Top Row - Fixed Dice
320 \foreach \x [count=\i] in \diceA {
321 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i, -\step*3) {\x};
322 }
323
324 % Bottom Row - Sliding Dice
325 \foreach \x [count=\i] in \diceB {
326 \pgfmathsetmacro{\sumval}{int(\i + \step)}
327 \ifnum \sumval > 0 \ifnum \sumval < 7 \node[draw=red, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
328 \else
329 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
330 \fi
331 \else
332 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
333 \fi
334 }
335 }
336 \end{tikzpicture}
337\end{center}
338\end{frame}
339\begin{frame}
340\frametitle{Exemple avec des combinaisons de dés}
341\begin{center}
342\vspace*{0.75cm}
343 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
344 % Define Dice Faces
345 \def\diceA{1,2,3,4,5,6} % Top Die (Static)
346 \def\diceB{6,5,4,3,2,1} % Bottom Die (Sliding)
347
348 % Define step spacing
349 \def\stepSpace{3}
350
351 % Loop through each step
352 \foreach \step in {3,4,5} {
353 \pgfmathsetmacro{\sommedonnant}{int(7 + \step)}
354 % Label step number
355 \node[anchor=east] at (-0.5, -\step*3) {Somme donnant \sommedonnant:};
356
357 % Top Row - Fixed Dice
358 \foreach \x [count=\i] in \diceA {
359 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i, -\step*3) {\x};
360 }
361
362 % Bottom Row - Sliding Dice
363 \foreach \x [count=\i] in \diceB {
364 \pgfmathsetmacro{\sumval}{int(\i + \step)}
365 \ifnum \sumval > 0 \ifnum \sumval < 7 \node[draw=red, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
366 \else
367 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
368 \fi
369 \else
370 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
371 \fi
372 }
373 }
374 \end{tikzpicture}
375\end{center}
376\end{frame}
377\begin{frame}
378 \frametitle{Lien avec les convolutions}
379 \begin{center}
380\noindent\begin{minipage}{.5\textwidth}
381\centering
382 \begin{tikzpicture}[scale=0.4]
383 \begin{axis}[
384 xlabel={Somme},
385 ylabel={Fréquence},
386 ymin=0,
387 ymax=7,
388 xmin=1.5,
389 xmax=12.5,
390 xtick={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},
391 ytick={1,2,3,4,5,6,7},
392 area style,
393 width=12cm,
394 height=8cm,
395 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
396 grid=major,
397 bar width=0.8,
398 title={Distribution des sommes},
399 nodes near coords,
400 ]
401 \addplot[fill=blue!40, draw=blue!80, opacity=0.8] coordinates {
402 (2,1)
403 (3,2)
404 (4,3)
405 (5,4)
406 (6,5)
407 (7,6)
408 (8,5)
409 (9,4)
410 (10,3)
411 (11,2)
412 (12,1)
413 };
414 \end{axis}
415\end{tikzpicture}
416 \end{minipage}%
417\begin{minipage}{.5\textwidth}
418\centering
419 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
420 \begin{axis}[
421 xlabel={$x$},
422 ylabel={$f(x)$},
423 xmin=-1,
424 xmax=8,
425 ymin=-0.2,
426 ymax=1.4,
427 xtick={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8},
428 ytick={0,1},
429 width=10cm,
430 height=6cm,
431 grid=major,
432 title={Fonction nulle puis constante égale à $1$ puis nulle},
433 samples=100,
434 domain=-1:8,
435 clip=false,
436 ]
437 % Plot the function
438 \addplot[blue, thick, const plot] coordinates {
439 (-1, 0)
440 (0.999, 0)
441 (1, 1)
442 (6, 1)
443 (6.001, 0)
444 (8, 0)
445 };
446
447 % Add markers to explicitly show the endpoints
448 \addplot[only marks, mark=*, mark options={fill=red}] coordinates {
449 (1, 1)
450 (6, 1)
451 };
452
453 \end{axis}
454\end{tikzpicture}
455 \end{minipage}
456\end{center}
457\begin{center}
458\includegraphics[width=7cm, trim={0 0 0 0}, clip]{2025-04-01T23:42:09,818697014+02:00.png}
459\captionof{figure}{numpy confirme ce résultat}
460\end{center}
461\end{frame}
462\begin{frame}
463 \frametitle{Intuition sur la convolution}
464 \begin{center}
465 \begin{tikzpicture}
466 \begin{axis}[
467 axis lines = middle,
468 xlabel = {$x$},
469 ylabel = {$y$},
470 samples=300,
471 domain=-6:6,
472 legend pos=north east,
473 width=1\textwidth,
474 height=1.1\textheight
475 ]
476 \addplot[blue, thick] {cos(deg(2*x))};
477 \addlegendentry{$\cos(2x)$}
478 \addplot[red, thick] {sin(deg(x))};
479 \addlegendentry{$\sin(x)$}
480 \end{axis}
481 \end{tikzpicture}
482 \end{center}
483\end{frame}
484\begin{frame}
485 \frametitle{Intuition sur la convolution}
486 \begin{center}
487 \begin{tikzpicture}
488 \begin{axis}[
489 axis lines = middle,
490 xlabel = {$x$},
491 ylabel = {$y$},
492 samples=300,
493 domain=-6:6,
494 legend pos=north east,
495 width=1\textwidth,
496 height=1.1\textheight
497 ]
498 \addplot[blue, thick] {cos(deg(2*x))};
499 \addlegendentry{$\cos(2x)$}
500 \addplot[red, thick] {sin(deg(-x))};
501 \addlegendentry{$\sin(-x)$}
502 \end{axis}
503 \end{tikzpicture}
504 \end{center}
505\end{frame}
506\begin{frame}
507 \frametitle{Intuition sur la convolution}
508 \begin{center}
509 \begin{tikzpicture}
510 \begin{axis}[
511 axis lines = middle,
512 xlabel = {$x$},
513 ylabel = {$y$},
514 samples=300,
515 domain=-6:6,
516 legend pos=north east,
517 width=1\textwidth,
518 height=1.1\textheight
519 ]
520 \addplot[blue, thick] {cos(deg(2*x))*sin(deg(-x))};
521 \addlegendentry{$\cos(2x)\sin(-x)$}
522
523 % Highlight positive areas in red
524 \addplot [fill=red, opacity=0.3, domain=-2*pi:2*pi]
525 {max(0, cos(deg(2*x))*sin(deg(-x)))} \closedcycle;
526
527 % Highlight negative areas in blue
528 \addplot [fill=blue, opacity=0.3, domain=-2*pi:2*pi]
529 {min(0, cos(deg(2*x))*sin(deg(-x)))} \closedcycle;
530
531 \end{axis}
532 \end{tikzpicture}
533 \end{center}
534\end{frame}
535\begin{frame}
536 \frametitle{Moyennage}
537\begin{center}
538 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
539 \begin{axis}[
540 xlabel={$x$},
541 ylabel={$y$},
542 xmin=-0.5,
543 xmax=23.5,
544 ymin=-0.5,
545 ymax=9,
546 xtick={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22},
547 width=12cm,
548 height=8cm,
549 grid=major,
550 title={Moyennage par convolution},
551 legend pos=north west,
552 ]
553 % Plot the first dataset with connected lines
554 \addplot[blue, thick] coordinates {
555 (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,1) (5,2) (6,3) (7,4) (8,5) (9,6) (10,7) (11,8)
556 (12,0) (13,4) (14,2) (15,3) (16,8) (17,1) (18,2) (19,4) (20,8) (21,0) (22,0) (23,0)
557 };
558
559 % Plot the second dataset with connected lines
560 \addplot[red, thick] coordinates {
561 (0,0)
562 (1,0.16666667)
563 (2,0.5)
564 (3,1)
565 (4,1.66666667)
566 (5,2.5)
567 (6,3.5)
568 (7,4.5)
569 (8,5.5)
570 (9,5)
571 (10,5)
572 (11,4.5)
573 (12,4)
574 (13,4.16666667)
575 (14,3)
576 (15,3.33333333)
577 (16,3.33333333)
578 (17,4.33333333)
579 (18,3.83333333)
580 (19,2.5)
581 (20,2.33333333)
582 (21,2)
583 (22,1.33333333)
584 (23,0)
585 };
586
587 \legend{$g$, $g*\frac{f}{6}$}
588
589 \end{axis}
590 \end{tikzpicture}
591\end{center}
592\end{frame}
593\begin{frame}
594 \frametitle{Transformée de Fourier discrète}
595 $a=[a_0,a_1,...,a_{n-1}]$ et $b=[b_0,b_1,...,b_{k-1}]$
596
597$(a*b)[p] = \sum\limits_{\substack{i\in\mathbb{Z} \\ 0\leq p-i\leq k\\ 0\leq i\leq n-1}} a_ib_{p-i}$
598
599$P(X)=\sum_{i=0}^{n-1} a_i X^i$ et $Q(X)=\sum_{j=0}^{k-1} a_j X^j$
600
601$(a*b)[p]$ est le coefficient du terme de degré $p$ dans le produit:
602
603$PQ(X)=\sum_{j=0}^p(\sum\limits_{\substack{i\in\mathbb{Z} \\ 0\leq p-i\leq k-1\\ 0\leq i\leq n-1}} a_ib_{j-i})X^j$
604
605On va évaluer en $\omega_n^k = e^{-\frac{2ki\pi}{n}}$ et utiliser la rigidité des polynômes.
606\end{frame}
607\begin{frame}
608 \frametitle{Utilisation de la rigidité des polynômes}
609On va évaluer en $\omega_n^k = e^{-\frac{2ki\pi}{n}}$, multiplier deux à deux les résultats et utiliser la rigidité des polynômes pour récuperer les coefficients finaux.
610
611\end{frame}
612
613\begin{frame}
614 \frametitle{Radix-2 decimation-in-time (DIT) - Factorisation Cooley-Tukey}
615Evaluer notre polynôme $P(x)=\sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i$ en les $\omega_n^k$ revient à faire la multiplication matricielle suivante:
616\small{
617\[
618R=\begin{bmatrix} f_0 \\ f_1 \\ \vdots \\ f_{n-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P(\omega_n^0) \\ P(\omega_n^1) \\ \vdots \\ P(\omega_n^{n-1}) \end{bmatrix}\]
619\[=
620\begin{bmatrix}
6211 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
6221 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \cdots & \omega_n^{n-1} \\
6231 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \cdots & \omega_n^{2(n-1)} \\
624\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
6251 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} & \cdots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
626\end{bmatrix}
627\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix}
628\]}
629\end{frame}
630
631\begin{frame}
632 \frametitle{Radix-2 decimation-in-time (DIT) - Factorisation Cooley-Tukey}
633On se restreint au cas où $n=2^p$ ($p \in \mathbb{N}$)
634
635On note la matrice de Vandermonde transposée, qui permet de calculer le DFT pour tous nos coefficients,
636\small{
637$F_{2^p}=\begin{bmatrix}
6381 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
6391 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \cdots & \omega_n^{n-1} \\
6401 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \cdots & \omega_n^{2(n-1)} \\
641\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
6421 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} & \cdots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
643\end{bmatrix}$
644}
645
646On prend cette matrice diagonale,
647\small{
648$D_{2^{p-1}} =
649\begin{bmatrix}
6501 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
6510 & \omega_{2^{p-1}} & 0 & \cdots & 0 \\
6520 & 0 & \omega_{2^{p-1}}^2 & \cdots & 0 \\
653\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
6540 & 0 & 0 & \cdots & \omega_{2^{p-1}}^{2^{p-1}-1}
655\end{bmatrix}$
656}
657
658\end{frame}
659
660\begin{frame}
661\frametitle{Radix-2 decimation-in-time (DIT) - Factorisation Cooley-Tukey}
662\tiny{
663\begin{equation*}
664R=F_{2^p}\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix}=
665\begin{pNiceArray}{cc|cc}
666 \eqnmarkbox[blue]{mcoeffdiag1}{I_{2^{p-1}}} && \eqnmarkbox[blue]{mcoeffdiag2}{D_{2^{p-1}}} \\
667 \hline
668 \eqnmarkbox[blue]{mcoeffdiag3}{I_{2^{p-1}}} && \eqnmarkbox[blue]{mcoeffdiag4}{-D_{2^{p-1}}}
669\end{pNiceArray}
670\begin{pNiceArray}{cc|cc}
671 \eqnmarkbox[cyan]{mrecurrence1}{F_{2^{p-1}}} && \mathbf{0} \\
672 \hline
673 \mathbf{0} && \eqnmarkbox[cyan]{mrecurrence2}{F_{2^{p-1}}}
674\end{pNiceArray}
675\begin{bmatrix}
676 \eqnmarkbox[green]{mcoeffpairs1}{a_0} \\
677 \eqnmarkbox[green]{mcoeffpairs2}{a_2} \\
678 \vdots \\
679 \eqnmarkbox[green]{mcoeffpairs3}{a_{2^{p-1}-2}} \\
680 \eqnmarkbox[green]{mcoeffpairs4}{a_{2^{p-1}}} \\
681 \eqnmarkbox[magenta]{mcoeffimpairs1}{a_{1}} \\
682 \eqnmarkbox[magenta]{mcoeffimpairs2}{a_{3}} \\
683 \vdots \\
684 \eqnmarkbox[magenta]{mcoeffimpairs3}{a_{n-3}} \\
685 \eqnmarkbox[magenta]{mcoeffimpairs4}{a_{n-1}}
686\end{bmatrix}
687\end{equation*}
688}
689\annotatetwo[yshift=1em]{above}{mcoeffdiag1}{mcoeffdiag2}{Blocs diagonaux, de l'ordre de $\mathcal{O}(n)$ opérations}
690\annotate[yshift=1em]{above,left}{mcoeffpairs1}{Coefficients d'indice pair}
691\annotate[yshift=0em]{below,left}{mcoeffimpairs4}{Coefficients d'indice impair}
692\annotate[yshift=0em]{below,left}{mrecurrence2}{Récurrence}
693\end{frame}
694
695\begin{frame}
696\frametitle{Radix-2 decimation-in-time (DIT) - Factorisation Cooley-Tukey}
697On évalue la compléxité de l'algorithme.\\
698On note $u_p$ sa complexité en fonction de $p$ et $C_n$ sa complexité en fonction de $n$.
699
700\vspace*{0.3cm}
701\begin{equation*}
702u_{p+1}=\eqnmarkbox[magenta]{cdiagmult}{A \cdot 2^{p+1}}+\eqnmarkbox[red]{crec}{2u_{p}}
703\end{equation*}
704\annotate[yshift=0.5em]{above,left}{cdiagmult}{Compléxité du produit sur la diagonale}
705\annotate[yshift=0em]{below,left}{crec}{Traitement des coefficients par récurrence}
706
707On factorise par la solution homogène,
708$\frac{u_{p+1}}{2^{p+1}}=A+\frac{u_{p}}{2^p}$
709
710$\frac{u_{p}}{2^{p}}=u_{0}+A\cdot p$
711
712$u_{p}=u_{0}\cdot2^{p}+A\cdot p \cdot 2^{p}$
713
714Or $p=\log_2{n}$
715
716Donc $C_n = u_{\log_2{n}} = u_{0} \cdot n+A \cdot \log_2{n} \cdot n = \mathcal{O}(n \log n)$
717\end{frame}
718
719\begin{frame}
720\frametitle{IFFT}
721On peut montrer que:
722$F_{2^p}^{-1}=\frac{1}{2^p}\begin{bmatrix}
7231 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
7241 & \overline{\omega_n}^1 & \overline{\omega_n}^2 & \cdots & \overline{\omega_n}^{n-1} \\
7251 & \overline{\omega_n}^2 & \overline{\omega_n}^4 & \cdots & \overline{\omega_n}^{2(n-1)} \\
726\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
7271 & \overline{\omega_n}^{n-1} & \overline{\omega_n}^{2(n-1)} & \cdots & \overline{\omega_n}^{(n-1)(n-1)}
728\end{bmatrix}$
729
730Et on a:
731
732$A=\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix}=F_{2^p}^{-1}R=F_{2^p}^{-1}\begin{bmatrix} f_0 \\ f_1 \\ \vdots \\ f_{n-1} \end{bmatrix}$
733
734
735\end{frame}
736\begin{frame}
737\frametitle{IFFT}
738Le conjugué passe au produit et à la somme, donc aussi pour les matrices (prendre le conjugué d'une matrice c'est prendre le conjugué des termes de la matrice).
739
740$A=\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{F_{2^p}^{-1}R}}=\overline{\overline{F_{2^p}^{-1}}\overline{R}}=\frac{1}{2^p}\overline{F_{2^p}\overline{R}}$
741
742On peut donc utiliser la même technique, en prenant le conjugué avant d'appliquer un FFT et en le prenant après puis en renormalisant.
743\end{frame}
744
745\begin{frame}
746\frametitle{Passage du domaine temporel au domaine fréquentiel}
747Le fait de multiplier par ces coefficients spécifiques, revient à décomposer en ondes sinusoidales de différentes fréquences et phases notre signal.
748\end{frame}
749
750\begin{frame}
751\frametitle{Corrélation croisée}
752Si on définit $\tilde{f}(t)=f(-t)$
753
754La corrélation croisée de \(f\) et \(g\) est \( (g * \tilde{f})(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(x-t)} g(x) \, dx \)
755
756\begin{center}
757 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
758 \begin{axis}[
759 axis lines = middle,
760 xlabel = {$x$},
761 ylabel = {$y$},
762 samples=100,
763 domain=-6:6,
764 legend pos=north east,
765 width=2\textwidth,
766 height=0.6\textheight
767 ]
768 \addplot[blue, thick] {cos(deg(x))};
769 \addlegendentry{$g(x)=\cos(x)$}
770 \addplot[red, thick] {sin(deg(x))};
771 \addlegendentry{$f(x)=\sin(x)$}
772 \end{axis}
773 \end{tikzpicture}
774 \end{center}
775
776 \begin{center}
777 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
778 \begin{axis}[
779 axis lines = middle,
780 xlabel = {$x$},
781 ylabel = {$y$},
782 samples=100,
783 domain=-6:6,
784 legend pos=north east,
785 width=2\textwidth,
786 height=0.6\textheight
787 ]
788 \addplot[blue, thick] {pi*sin(deg(x))};
789 \addlegendentry{$(g * \tilde{f})(t) = \pi \sin(t)$}
790 \end{axis}
791 \end{tikzpicture}
792 \end{center}
793
794\end{frame}
795
796
797\subsection{Modélisation de la propagation des ondes sismiques}
798\begin{frame}
799 \frametitle{Calcul du temps de propagation selon iasp91}
800 \begin{figure}%
801 \centering
802 \subfloat[\centering TauPy]{{\includegraphics[width=3cm, trim={0 0 0 0}, clip]{2025-03-26T23:10:40,393866488+01:00-side.png}}}%
803 \qquad
804 \subfloat[\centering]{{\includegraphics[width=4cm, trim={0 0 0 0}, clip]{IASP91.png}}}%
805 \caption{iasp91}%
806 \label{fig:iasp91}%
807\end{figure}
808\end{frame}
809\begin{frame}
810 \frametitle{Tabulation et interpolation}
811\begin{center}
812 \includegraphics[width=10cm, trim={12cm 4cm 12cm 8cm}, clip]{2025-03-24T00:28:53,070002973+01:00.png}\\
813 \captionof{figure}{Visualization des deux tables précalculées}
814\end{center}
815\end{frame}
816\subsection{Multilatération}
817\begin{frame}
818\frametitle{Fonction d'erreur}
819\vspace*{1em}
820\tiny{
821\begin{equation*}
822 \text{E}(\eqnmarkbox[blue]{p1}{depth},\eqnmarkbox[blue]{p2}{lat},\eqnmarkbox[blue]{p3}{lon},\eqnmarkbox[blue]{p4}{epoch},\eqnmarkbox[green]{p5}{obs})=\end{equation*}\vspace*{5em}
823 \begin{equation*}\sum_i \left(\frac{\eqnmarkbox[green]{p6}{(obs_iS-epoch)}-\eqnmarkbox[blue]{p7}{\text{S}(depth, \eqnmark[red]{p8}{\text{greatCircleAngle}(lat,lon,lat_i,lon_i))}}}{\eqnmarkbox[green]{p9}{obs_iS-epoch}}\right)^{\eqnmarkbox[magenta]{p11}{2}}+
824 \end{equation*}\vspace*{3em}
825 \begin{equation*}
826 \eqnmarkbox[pink]{p10}{\left(\frac{(obs_iP-epoch)-\text{P}(depth, \text{greatCircleAngle}(lat,lon,lat_i,lon_i))}{obs_iP-epoch}\right)^2}
827\end{equation*}}
828\annotate[yshift=0em]{below}{p1}{\tiny{Profondeur estimée}}
829\annotatetwo[yshift=1.2em]{above}{p2}{p3}{\tiny{Latitude et longitude estimée}}
830\annotate[yshift=0.5em]{above}{p4}{\tiny{Date de début du séisme estimée}}
831\annotate[yshift=-0.4em]{below}{p5}{\tiny{Tableau des observations}}
832\annotate[yshift=2.5em]{above}{p6}{\tiny{Temps de propagation avec la date de début du séisme estimée}}
833\annotate[yshift=3.5em]{above,left}{p7}{\tiny{Temps de propagation calculé par le modèle}}
834\annotate[yshift=1em]{above,left}{p8}{\tiny{Calcul de l'angle entre le seismographe et la position estimée du séisme}}
835\annotate[yshift=0em]{below,left}{p9}{\tiny{Renormalisation}}
836\annotate[yshift=-6em]{below,left}{p11}{\tiny{On fait la moyenne quadratique pour avoir l'écart}}
837\annotate[yshift=0em]{below,left}{p10}{\tiny{Idem mais pour l'onde P}}
838\end{frame}
839\begin{frame}
840\frametitle{Implémentation de la fonction d'erreur}
841\begin{center}
842 \includegraphics[width=10cm, trim={0 0 0 0}, clip]{2025-03-31T10:14:11,496825900+02:00.png}\\
843 \captionof{figure}{Implémentation de la fonction d'erreur}
844\end{center}
845\end{frame}
846\begin{frame}
847\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
848\centering
849\includegraphics[width=10cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/An-iteration-of-the-Nelder-Mead-method-over-two-dimensional-space-showing-point-p-min.png}
850 \captionof{figure}{Une itération de Nelder-Mead sur un espace de dimension 2}
851\end{frame}
852\begin{frame}
853\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
854\centering
855\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0001.png}
856 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
857\end{frame}
858\begin{frame}
859\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
860\centering
861\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0002.png}
862 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
863\end{frame}
864\begin{frame}
865\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
866\centering
867\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0003.png}
868 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
869\end{frame}
870\begin{frame}
871\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
872\centering
873\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0004.png}
874 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
875\end{frame}
876\begin{frame}
877\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
878\centering
879\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0005.png}
880 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
881\end{frame}
882\begin{frame}
883\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
884\centering
885\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0006.png}
886 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
887\end{frame}
888\begin{frame}
889\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
890\centering
891\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0007.png}
892 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
893\end{frame}
894\begin{frame}
895\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
896\centering
897\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0008.png}
898 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
899\end{frame}
900\begin{frame}
901\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
902\centering
903\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0009.png}
904 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
905\end{frame}
906\begin{frame}
907\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
908\centering
909\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0010.png}
910 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
911\end{frame}
912\begin{frame}
913\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
914\centering
915\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0011.png}
916 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
917\end{frame}
918\begin{frame}
919\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
920\centering
921\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0012.png}
922 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
923\end{frame}
924\begin{frame}
925\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
926\centering
927\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0013.png}
928 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
929\end{frame}
930\begin{frame}
931\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
932\centering
933\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0014.png}
934 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
935\end{frame}
936\begin{frame}
937\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
938\centering
939\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0015.png}
940 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
941\end{frame}
942\begin{frame}
943\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
944\centering
945\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0016.png}
946 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
947\end{frame}
948\begin{frame}
949\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
950\centering
951\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0017.png}
952 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
953\end{frame}
954\begin{frame}
955\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
956\centering
957\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0018.png}
958 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
959\end{frame}
960\begin{frame}
961\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
962\centering
963\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0019.png}
964 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
965\end{frame}
966\begin{frame}
967\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
968\centering
969\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0020.png}
970 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
971\end{frame}
972\subsection{Magnitude sismique}
973\begin{frame}
974\frametitle{Formule de calcul de magnitude sur l'échelle Richter}
975\[
976M_\mathrm{L} = \log_{10} \left[ \frac{A}{A_\mathrm{0}(\delta)} \right]
977\]
978
979\noindent
980où $A$ correspond à l'amplitude maximale mesurée (en m) par le sismographe et $A_\mathrm{0}(\delta)$ un coefficient de correction qui dépend de la distance ($\delta$) à l'epicentre et dont le calcul diffère selon les modèles employés (généralement on utilise une table de correrlation empirique).
981
982
983On utilisera la formule empirique de Tsuboi (Université de Tokyo):
984\[
985M_{\mathrm{L}} = \log_{10} A + 1.73 \log_{10} \Delta - 0.83
986\]
987
988\noindent
989où \( A \) est l'amplitude maximale en micromètres et \( \Delta \) est la distance en kilomètres.
990\end{frame}
991\begin{frame}
992\frametitle{Tableau}
993\tiny
994\begin{center}
995\begin{tabular}{|>{\columncolor{white}}l|l|l|p{5cm}|}
996\hline
997\rowcolor{gray!30}
998\textbf{Magnitude} & \textbf{Description} & \textbf{MMI Typique} & \textbf{Effets Moyens du Séisme} \\
999\hline
1000\cellcolor{mmi1}1.0 - 1.9 & Micro & I & Micro-séismes, non ressentis. Enregistrés par les sismographes. \\
1001\hline
1002\cellcolor{mmi1}2.0 - 2.9 & Mineur & I & Légèrement ressenti par certaines personnes. Aucun dommage aux bâtiments. \\
1003\hline
1004\cellcolor{mmi3}3.0 - 3.9 & Léger & II à III & Souvent ressenti, mais cause rarement des dégâts. Secousses perceptibles d’objets à l’intérieur. \\
1005\hline
1006\cellcolor{mmi5}4.0 - 4.9 & Faible & IV à V & Secousses intérieures notables et bruits de cliquetis. Légèrement ressenti à l’extérieur. Dégâts minimes possibles. \\
1007\hline
1008\cellcolor{mmi6}5.0 - 5.9 & Modéré & VI à VII & Peut endommager les bâtiments mal construits ; ressenti par tous. Peu ou pas de dégâts aux bâtiments solides. \\
1009\hline
1010\cellcolor{mmi7}6.0 - 6.9 & Fort & VII à IX & Dégâts modérés aux structures solides ; dégâts sévères aux structures faibles. Ressenti sur de grandes régions. \\
1011\hline
1012\cellcolor{mmi8}7.0 - 7.9 & Majeur & VIII ou plus & Dégâts majeurs et effondrements possibles. Dommages concentrés dans un rayon de 250 km. \\
1013\hline
1014\cellcolor{mmi9}8.0 - 8.9 & Très fort & VIII+ & Destructions majeures à totales. Dommages sur des zones très vastes. Ressenti à très grande distance de l’épicentre. \\
1015\hline
1016\cellcolor{mmi10}9.0 - 9.9 & Extrême & XII & Destruction quasi-totale, dégâts graves ou effondrement de tous les bâtiments. Modification du relief. \\
1017\hline
1018\end{tabular}
1019\end{center}
1020\end{frame}
1021
1022\section{Toutes les pièces mises ensembles}
1023
1024\subsection{Fonctionnement}
1025
1026\begin{frame}
1027\frametitle{Architecture générale du système}
1028
1029\small
1030\begin{enumerate}
1031 \item Connexion à tous les sismographes et acquisition des données en temps réel
1032 \item Corrélation croisée continue avec des signaux de référence d'ondes P et S
1033 \item Détection d'un événement si plusieurs stations proches détectent un pic de corrélation
1034 \item Construction d'une liste des stations participantes et des temps d'arrivée
1035 \item Estimation de la position et du temps du séisme par Nelder-Mead
1036 \item Calcul de la magnitude à partir de l'amplitude mesurée et des distances calculées
1037 \item Transmission des résultats en temps réel
1038\end{enumerate}
1039
1040Le système peut également alimenter un système d'alerte des populations.
1041\end{frame}
1042
1043\begin{frame}
1044\frametitle{Calibration et prétraitement}
1045
1046\small
1047
1048Une phase de calibration est effectuée pour chaque détecteur afin de prendre en compte :
1049\begin{itemize}
1050 \item la sensibilité propre du capteur ;
1051 \item le bruit de fond ;
1052 \item les signaux continus présents en permanence ;
1053\end{itemize}
1054
1055\begin{center}
1056\includegraphics[width=7cm, trim={0 0 0 0}, clip]{screenshots/Screenshotfrom2026-05-1500-21-53.png}
1057\captionof{figure}{Données précalculées et stockées pour chaque station}
1058\end{center}
1059
1060\end{frame}
1061
1062\begin{frame}
1063\frametitle{Stations sismiques utilisées}
1064
1065\begin{center}
1066\includegraphics[width=8cm, trim={0 0 0 10cm}, clip]{stations.png}
1067\captionof{figure}{Carte des stations utilisées}
1068\end{center}
1069
1070\end{frame}
1071
1072\begin{frame}
1073\frametitle{Initialisation des stations}
1074
1075\begin{center}
1076\includegraphics[width=8cm, trim={0 0 0 0}, clip]{screenshots/Screenshotfrom2026-05-1423-40-06.png}
1077\captionof{figure}{Phase de registration des stations}
1078\end{center}
1079
1080\end{frame}
1081
1082\begin{frame}
1083\frametitle{Détection des ondes}
1084
1085\begin{center}
1086\includegraphics[width=10cm, trim={0 0 0 0}, clip]{screenshots/Screenshotfrom2026-05-1423-21-09.png}
1087\captionof{figure}{Arrivée d'une onde détectée}
1088\end{center}
1089
1090\end{frame}
1091
1092\begin{frame}
1093\frametitle{Calibration terminée}
1094
1095\begin{center}
1096\includegraphics[width=10cm, trim={0 0 0 0}, clip]{screenshots/Screenshotfrom2026-05-1500-08-06.png}
1097\captionof{figure}{Fin de la phase de calibration}
1098\end{center}
1099
1100\end{frame}
1101
1102\begin{frame}
1103\frametitle{Détection d'un séisme}
1104
1105\begin{center}
1106\includegraphics[width=10cm, trim={0 0 0 0}, clip]{screenshots/Screenshotfrom2026-05-1501-18-07.png}
1107\captionof{figure}{Détection d'un séisme de magnitude 3}
1108\end{center}
1109
1110\end{frame}
1111
1112\begin{frame}
1113\frametitle{Interface web temps réel}
1114
1115{\fontsize{7}{8}\selectfont
1116Une interface web permet également de visualiser en temps réel :
1117\begin{itemize}
1118 \setlength{\itemsep}{2pt}
1119 \setlength{\topsep}{2pt}
1120 \setlength{\parsep}{0pt}
1121 \setlength{\parskip}{0pt}
1122 \item les traces des sismographes ;
1123 \item les détections d'ondes ;
1124 \item les stations actives ;
1125 \item les séismes détectés.
1126\end{itemize}
1127
1128\begin{center}
1129\includegraphics[width=4cm, trim={0 0 0 0}, clip]{screenshots/Screenshotfrom2026-05-1500-14-28.png}
1130\captionof{figure}{Interface web}
1131\end{center}
1132}
1133
1134\end{frame}
1135
1136\subsection{Résultats}
1137
1138\begin{frame}
1139\frametitle{Comparaison avec les résultats de l'USGS}
1140{\fontsize{7}{8}\selectfont
1141Voici un exemple de séisme détecté par le système.
1142
1143Les positions estimées sont cohérentes avec celles fournies par l'USGS ainsi que les magnitudes estimées.
1144
1145\begin{figure}
1146 \centering
1147 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
1148 \centering
1149 \includegraphics[width=3.5cm, trim={0 0 0 0}, clip]{debugMaps/rs2025fwmrzv.png}
1150 \caption{Estimation du système (M5.9)}
1151 \end{minipage}
1152 \hfill
1153 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
1154 \centering
1155 \includegraphics[width=4cm, trim={0 0 0 0}, clip]{2025-03-25T21:07:44,659295790+01:00-cropped.png}
1156 \caption{Estimation USGS (M6.2)}
1157 \end{minipage}
1158\end{figure}
1159}
1160\end{frame}
1161
1162\section{Précision et erreur}
1163
1164\subsection{Cas linéarisé à quatre détecteurs}
1165
1166\begin{frame}
1167\frametitle{Cadre simplifié}
1168{\fontsize{7}{8}\selectfont
1169Dans certains cas, les détecteurs sont suffisamment éloignés pour permettre une linéarisation des équations de propagation.
1170
1171On considère :
1172\begin{itemize}
1173 \setlength{\itemsep}{2pt}
1174 \setlength{\topsep}{2pt}
1175 \setlength{\parsep}{0pt}
1176 \setlength{\parskip}{0pt}
1177 \item quatre émetteurs ;
1178 \item une propagation rectiligne ;
1179 \item un milieu homogène, isotrope et transparent ;
1180\end{itemize}
1181
1182Les inconnues sont :
1183\[
1184(x,y,z,t)
1185\]
1186
1187avec :
1188\begin{itemize}
1189 \setlength{\itemsep}{2pt}
1190 \setlength{\topsep}{2pt}
1191 \setlength{\parsep}{0pt}
1192 \setlength{\parskip}{0pt}
1193 \item $(x,y,z)$ la position mesurée;
1194 \item $t$ la date d'émission du ping par les satellites (de façon synchrone).
1195\end{itemize}
1196
1197On fixe la position du récepteur à l'origine et on désigne la position des quatre satellites par les vecteurs $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ et $\vec{d}$.
1198
1199Soit $\vec{M} = (x, y, z)^\top$.
1200
1201}
1202\end{frame}
1203
1204\begin{frame}
1205\frametitle{Géométrie du problème}
1206\begin{figure}[h]
1207\centering
1208\tdplotsetmaincoords{80}{140} % angle de vue (élévation, azimuth)
1209\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords, scale=1.7]
1210
1211 % Origine (récepteur)
1212 \filldraw[black] (0,0,0) circle (1.5pt) node[below] {$\vec{M'}=0$};
1213
1214 % Axes optionnels
1215 \draw[->] (0,0,0) -- (1.5,0,0) node[left] {$x$};
1216 \draw[->] (0,0,0) -- (0,1.5,0) node[right] {$y$};
1217 \draw[->] (0,0,0) -- (0,0,1.5) node[above] {$z$};
1218
1219 % Satellite a
1220 \coordinate (A) at (2,1,2);
1221 \filldraw[blue] (A) circle (1.5pt);
1222 \draw[-{Stealth}, blue] (0,0,0) -- (A) node[right] {$\vec{a}$};
1223 \draw[-{Stealth}, red, thick] (0,0,0) -- (0.666667,0.333333,0.666667) node[midway,right] {$\vec{u}_a$};
1224
1225 % Satellite b
1226 \coordinate (B) at (-1,2,2);
1227 \filldraw[blue] (B) circle (1.5pt);
1228 \draw[-{Stealth}, blue] (0,0,0) -- (B) node[right] {$\vec{b}$};
1229 \draw[-{Stealth}, red, thick] (0,0,0) -- (-0.333333,0.666667,0.666667) node[midway,left] {$\vec{u}_b$};
1230
1231 % Satellite c
1232 \coordinate (C) at (1,-2,2);
1233 \filldraw[blue] (C) circle (1.5pt);
1234 \draw[-{Stealth}, blue] (0,0,0) -- (C) node[right] {$\vec{c}$};
1235 \draw[-{Stealth}, red, thick] (0,0,0) -- (0.333333,-0.666667,0.666667) node[midway,right] {$\vec{u}_c$};
1236
1237 % Satellite d
1238 \coordinate (D) at (-1,-1,3);
1239 \filldraw[blue] (D) circle (1.5pt);
1240 \draw[-{Stealth}, blue] (0,0,0) -- (D) node[right] {$\vec{d}$};
1241 \draw[-{Stealth}, red, thick] (0,0,0) -- (-0.3015113445,-0.3015113445,0.9045340337) node[midway,right] {$\vec{u}_d$};
1242
1243\end{tikzpicture}
1244\caption{Géométrie GPS : satellites et vecteurs unitaires $\vec{u}_i$ associés}
1245\end{figure}
1246
1247\end{frame}
1248
1249\begin{frame}
1250\frametitle{Linéarisation}
1251{\fontsize{7}{8}\selectfont
1252Les équations qui rendent compte du retard de propagation sont :
1253\begin{align*}
1254\|M - \vec{a}\|^2 &= v^2(\tau_a - t)^2 \\
1255\|M - \vec{b}\|^2 &= v^2(\tau_b - t)^2 \\
1256\|M - \vec{c}\|^2 &= v^2(\tau_c - t)^2 \\
1257\|M - \vec{d}\|^2 &= v^2(\tau_d - t)^2
1258\end{align*}
1259
1260On écrit $\vec{M} = \vec{M'} + \vec{\delta M}$, $t = t' + \delta t$, $\tau_a = \tau_a' + \delta\tau_a$, $\tau_b = \tau_b' + \delta\tau_b$, $\tau_c = \tau_c' + \delta\tau_c$, $\tau_d = \tau_d' + \delta\tau_d$.
1261
1262$\vec{M'}$ est la vraie position, donc $\vec{M'} = 0$ vu notre choix de coordonnées, et $t' = 0$ également ; $\tau_a'$, $\tau_b'$, $\tau_c'$ et $\tau_d'$ sont les temps de propagation entre les satellites et l'origine.
1263
1264Après développement limité à l'ordre 1 :
1265\begin{align*}
1266\langle \vec{\delta M}, \vec{u}_a \rangle + v(\delta\tau_a - \delta t) &= 0 \\
1267\langle \vec{\delta M}, \vec{u}_b \rangle + v(\delta\tau_b - \delta t) &= 0 \\
1268\langle \vec{\delta M}, \vec{u}_c \rangle + v(\delta\tau_c - \delta t) &= 0 \\
1269\langle \vec{\delta M}, \vec{u}_d \rangle + v(\delta\tau_d - \delta t) &= 0
1270\end{align*}
1271}
1272
1273\end{frame}
1274
1275\begin{frame}
1276\frametitle{Linéarisation}
1277
1278{\fontsize{9}{10}\selectfont
1279On obtient alors un système linéaire :
1280\[
1281AX = Y
1282\]
1283
1284Avec
1285\[
1286A = \frac{1}{v}
1287\begin{pmatrix}
1288u_{ax} & u_{ay} & u_{az} & -v \\
1289u_{bx} & u_{by} & u_{bz} & -v \\
1290u_{cx} & u_{cy} & u_{cz} & -v \\
1291u_{dx} & u_{dy} & u_{dz} & -v
1292\end{pmatrix},
1293\quad
1294X = \begin{pmatrix} \delta x \\ \delta y \\ \delta z \\ \delta t \end{pmatrix},
1295\quad
1296Y = \begin{pmatrix} \delta\tau_a \\ \delta\tau_b \\ \delta\tau_c \\ \delta\tau_d \end{pmatrix}
1297\]
1298}
1299
1300\end{frame}
1301
1302\begin{frame}
1303\frametitle{Calcul de l'incertitude}
1304{\fontsize{9}{10}\selectfont
1305
1306Si on choisit $Y$ comme variable aléatoire où chaque coordonnée est indépendante, centrée et de $\mathbb{E}[(\delta\tau_i)^2] = \sigma_i^2$
1307
1308On définit la variable aléatoire
1309\[
1310X = A^{-1}Y
1311\]
1312Alors :
1313\[
1314\|X\|^2 = Y^\top (AA^\top)^{-1} Y
1315\]
1316$(AA^\top)^{-1}$ étant symétrique positive et inversible (matrice de Gram associée à $A^\top$, i.e.\ aux vecteurs $\vec{u}_i$ complétés d'un $-1$), on peut donc la diagonaliser dans une BON par le théorème spectral.
1317\[
1318Q = (\vec{v}_1 \mid \vec{v}_2 \mid \vec{v}_3 \mid \vec{v}_4)
1319\]
1320où $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$ et $\vec{v}_4$ sont orthonormés.
1321\begin{align*}
1322\|X\|^2 = X^\top X &= Y^\top {A^{-1}}^\top A^{-1} Y \\
1323&= Y^\top Q^\top \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4)\, Q\, Y \\
1324&= \sum_{i=1}^{4} \lambda_i \langle \vec{v}_i, Y \rangle^2
1325\end{align*}
1326}
1327\end{frame}
1328
1329\begin{frame}
1330\frametitle{Calcul de l'incertitude}
1331{\fontsize{9}{10}\selectfont
1332En supposant :
1333\begin{itemize}
1334 \setlength{\itemsep}{3pt}
1335 \setlength{\topsep}{3pt}
1336 \setlength{\parsep}{0pt}
1337 \setlength{\parskip}{0pt}
1338 \item des erreurs indépendantes ;
1339 \item une variance identique $\sigma_\tau^2$ ;
1340\end{itemize}
1341
1342on obtient par calcul:
1343
1344\[
1345\mathbb{E}(\|X\|^2)
1346=
1347\operatorname{tr}\left((AA^\top)^{-1}\right)\sigma_\tau^2
1348\]
1349
1350Lorsque les vecteurs $\vec{u}_i$ deviennent proches, certaines valeurs propres de $(AA^\top)$ deviennent petites et donc les valeurs propres correspondantes de $(AA^\top)^-1$ explosent ce qui provoque une explosion de l'erreur.
1351
1352Il s'agit de la dilution de précision géométrique.
1353}
1354\end{frame}
1355
1356\begin{frame}
1357\frametitle{Visualisation géométrique de l'erreur}
1358\begin{figure}[h]
1359\centering
1360\tdplotsetmaincoords{70}{135}
1361\begin{tikzpicture}[tdplot_main_coords, scale=1.5]
1362
1363 % j'ai décidé de tourner par la matrice
1364 %[ 0.8636654, 0.4567464, -0.2132249;
1365 %-0.4446277, 0.8895858, 0.1046102;
1366 % 0.2374622, 0.0044575, 0.9713866 ]
1367
1368 % Ellipsoide Q(Y)=C projeté en 3D (delta_tau_d fixé)
1369 % On visualise dans l'espace (delta_tau_a, delta_tau_b, delta_tau_c)
1370
1371 % Axes
1372 \draw[-{Stealth}, gray] (0,0,0) -- (4,0,0) node[left] {$\delta\tau_a$};
1373 \draw[-{Stealth}, gray] (0,0,0) -- (0,4,0) node[right] {$\delta\tau_b$};
1374 \draw[-{Stealth}, gray] (0,0,0) -- (0,0,2) node[above] {$\delta\tau_c$};
1375
1376 % Ellipsoide (demi-axes 1/sqrt(lambda_i), ici lambda_1<lambda_2<lambda_3)
1377 % demi-axes : a1=2.0, a2=1.2, a3=0.7 pour illustrer lambda_1 petit
1378 \def\a{2.4} % grand axe -> petite vp -> grande erreur
1379 \def\b{1.9}
1380 \def\c{1.0} % petit axe -> grande vp -> petite erreur
1381
1382 % Meridiens
1383 \foreach \ph in {0,30,...,150}{
1384 \draw[blue!30, thin] plot[domain=0:360, samples=60]
1385 ({0.8636654*\a*cos(\x)*cos(\ph)+0.4567464*\b*cos(\x)*sin(\ph)-0.2132249*\c*sin(\x)},
1386 {-0.4446277*\a*cos(\x)*cos(\ph)+0.8895858*\b*cos(\x)*sin(\ph)+0.1046102*\c*sin(\x)},
1387 {0.2374622*\a*cos(\x)*cos(\ph)+0.0044575*\b*cos(\x)*sin(\ph)+0.9713866*\c*sin(\x)});
1388 }
1389
1390 % Paralleles
1391 \foreach \th in {-60,-30,...,60}{
1392 \draw[blue!50, thin] plot[domain=0:360, samples=60]
1393 ({0.8636654*\a*cos(\th)*cos(\x)+0.4567464*\b*cos(\th)*sin(\x)-0.2132249*\c*sin(\th)},
1394 {-0.4446277*\a*cos(\th)*cos(\x)+0.8895858*\b*cos(\th)*sin(\x)+0.1046102*\c*sin(\th)},
1395 {0.2374622*\a*cos(\th)*cos(\x)+0.0044575*\b*cos(\th)*sin(\x)+0.9713866*\c*sin(\th)});
1396 }
1397
1398 % Cercles de l'ellipsoide sur les plans principaux
1399 \draw[blue, thick] plot[domain=0:360, samples=60]
1400 ({0.8636654*\a*cos(\x)+0.4567464*\b*sin(\x)}, {-0.4446277*\a*cos(\x)+0.8895858*\b*sin(\x)}, {0.2374622*\a*cos(\x)+0.0044575*\b*sin(\x)});
1401 % ({\a*cos(\x)}, {\b*sin(\x)}, 0);
1402
1403 \draw[blue, thick] plot[domain=0:360, samples=60]
1404 ({0.8636654*\a*cos(\x)-0.2132249*\c*sin(\x)}, {-0.4446277*\a*cos(\x)+0.1046102*\c*sin(\x)}, {0.2374622*\a*cos(\x)+0.9713866*\c*sin(\x)});
1405 % ({\a*cos(\x)}, 0, {\c*sin(\x)});
1406
1407 \draw[blue, thick] plot[domain=0:360, samples=60]
1408 ({0.4567464*\b*cos(\x)-0.2132249*\c*sin(\x)},{0.8895858*\b*cos(\x)+0.1046102*\c*sin(\x)},{0.0044575*\b*cos(\x)+0.9713866*\c*sin(\x)});
1409 % (0, {\b*cos(\x)}, {\c*sin(\x)});
1410 % Vecteurs propres v_i (directions des axes de l'ellipsoide)
1411 \draw[-{Stealth}, red, very thick] (0,0,0) -- ({0.8636654*\a}, {-0.4446277*\a}, {0.2374622*\a}) node[left] {$\sqrt{\frac{C}{\lambda_1}}\vec{v}_1$};
1412 \draw[-{Stealth}, orange, very thick] (0,0,0) -- ({0.4567464*\b},{0.8895858*\b} , {0.0044575*\b}) node[right] {$\sqrt{\frac{C}{\lambda_2}}\vec{v}_2$};
1413 \draw[-{Stealth}, green!60!black, very thick] (0,0,0) -- ({-0.2132249*\c},{0.1046102*\c},{0.9713866*\c}) node[above] {$\sqrt{\frac{C}{\lambda_3}}\vec{v}_3$};
1414
1415 % Origine
1416 \filldraw[black] (0,0,0) circle (1.5pt) node[below left] {$0$};
1417
1418 % Légende
1419 \node at (0,-2.5,1) {($\delta\tau_d = 0$ fixé)};
1420
1421\end{tikzpicture}
1422\caption{Ellipsoïde $Q(Y) = Y^\top(AA^\top)^{-1}Y = C$ projeté dans l'espace $(\delta\tau_a, \delta\tau_b, \delta\tau_c)$.
1423Les grands axes correspondent aux petites valeurs propres de $AA^\top$ :
1424une faible norme de $Y$ dans ces directions suffit à atteindre la surface,
1425signifiant une grande sensibilité à l'erreur.}
1426\end{figure}
1427
1428\end{frame}
1429
1430\subsection{Méthode de Monte-Carlo pour les cas plus complexes}
1431
1432\begin{frame}
1433\frametitle{Méthode de Monte-Carlo}
1434
1435{\fontsize{9}{10}\selectfont
1436Pour les cas plus complexes où la position est déterminée par recherche de minimum ou encore que les distances sont suffisamment faibles pour ne pas pouvoir linéariser les équations, les calculs deviennent rapidement difficiles.
1437
1438On utilise alors une méthode de Monte-Carlo :
1439\begin{itemize}
1440 \setlength{\itemsep}{3pt}
1441 \setlength{\topsep}{3pt}
1442 \setlength{\parsep}{0pt}
1443 \setlength{\parskip}{0pt}
1444 \item génération aléatoire d'erreurs de mesure ;
1445 \item calcul de la position ;
1446 \item estimation statistique de l'erreur finale.
1447\end{itemize}
1448
1449Les estimations du programme ont été testé avec :
1450\begin{itemize}
1451 \setlength{\itemsep}{3pt}
1452 \setlength{\topsep}{3pt}
1453 \setlength{\parsep}{0pt}
1454 \setlength{\parskip}{0pt}
1455 \item quatre microphones synchronisés ;
1456 \item un claquement de main ;
1457 \item une propagation sonore dans une petite salle (hypothèse de linéarité non vérifiée).
1458\end{itemize}
1459}
1460\end{frame}
1461
1462\begin{frame}
1463\frametitle{Configuration défavorable}
1464
1465\begin{figure}
1466 \centering
1467 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
1468 \centering
1469 \includegraphics[width=\linewidth, trim={0 0 0 0}, clip]{montecarlo/1.png}
1470 \caption{Rouge: détecteurs, Vert: position mesurée, Bleu: référence}
1471 \end{minipage}
1472 \hfill
1473 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
1474 \centering
1475 \includegraphics[width=\linewidth, trim={0 0 0 0}, clip]{montecarlo/2.png}
1476 \caption{Erreur calculée par Monte-Carlo}
1477 \end{minipage}
1478\end{figure}
1479Configuration presque plane :
1480forte dilution de précision géométrique.
1481
1482\end{frame}
1483
1484\begin{frame}
1485\frametitle{Configuration plus favorable}
1486
1487\begin{figure}
1488 \centering
1489 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
1490 \centering
1491 \includegraphics[width=\linewidth, trim={0 0 0 0}, clip]{montecarlo/3.png}
1492 \caption{Rouge: détecteurs, Vert: position mesurée, Bleu: référence}
1493 \end{minipage}
1494 \hfill
1495 \begin{minipage}{0.49\textwidth}
1496 \centering
1497 \includegraphics[width=\linewidth, trim={0 0 0 0}, clip]{montecarlo/4.png}
1498 \caption{Erreur calculée par Monte-Carlo}
1499 \end{minipage}
1500\end{figure}
1501Les vecteurs sont moins colinéaires :
1502la précision obtenue est meilleure.
1503
1504\end{frame}
1505
1506\section{Bonus}
1507
1508\begin{frame}
1509\frametitle{Oscilloscope développé}
1510
1511\small
1512
1513Ces expérimentations en traitement du signal ont également conduit au développement d'un oscilloscope logiciel avec auto-corrélation (détection de période) et corrélation avec onde sinusoïdale (détection de phase) afin de stabiliser la phase du signal d'entrée.
1514
1515
1516\vspace*{0.3cm}
1517
1518Projet :
1519\url{https://github.com/make-42/xyosc}
1520
1521\end{frame}
1522
1523\begin{frame}
1524\frametitle{Mode canal unique avec auto-correlation}
1525
1526\begin{center}
1527\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{screenshots/Screenshotfrom2026-05-1500-42-57.png}
1528\captionof{figure}{Mode canal unique avec auto-corrélation}
1529\end{center}
1530
1531\end{frame}
1532
1533\begin{frame}
1534\frametitle{Mode XY}
1535
1536\begin{center}
1537\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{screenshots/Screenshotfrom2026-05-1500-41-26.png}
1538\captionof{figure}{Mode XY}
1539\end{center}
1540
1541\end{frame}
1542
1543\begin{frame}
1544\frametitle{Spectrogramme}
1545
1546\begin{center}
1547\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{screenshots/Screenshotfrom2026-05-1512-44-34.png}
1548\captionof{figure}{Mode spectrogramme avec détection de note}
1549\end{center}
1550
1551\end{frame}
1552
1553\section{Bibliographie}
1554\begin{frame}
1555\frametitle{Bibliographie (1/2)}
1556\tiny
1557\begin{thebibliography}{9}
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1593\end{thebibliography}
1594\end{frame}
1595
1596\begin{frame}
1597\frametitle{Bibliographie (2/2)}
1598\tiny
1599\begin{thebibliography}{9}
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1636\end{thebibliography}
1637\end{frame}
1638
1639\end{document}