1\documentclass[t]{beamer}
2\usepackage[T1]{fontenc}
3\usepackage[utf8]{inputenc}
4\usepackage[french]{babel}
5\usepackage{lmodern}
6\usepackage{amsmath}
7\usepackage{amsfonts}
8\usepackage{amssymb}
9\usepackage{amsthm}
10\usepackage{graphicx}
11\usepackage{color}
12\usepackage{xcolor}
13\usepackage{url}
14\usepackage{theorem}
15\usepackage{textcomp}
16\usepackage{listings}
17\usepackage{hyperref}
18%\usepackage{glossaries}
19\usepackage{parskip}
20\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb}
21\usepackage{stmaryrd}
22\usepackage{graphicx}
23\usepackage{subfig}
24\usepackage{longtable}
25\usepackage{pgfplots}
26\usepackage{nicematrix}
27\usepackage[table]{xcolor}
28\usepackage{assets/texpackages/annotate-equations}
29\graphicspath{ {./assets/} }
30\usetheme{Berkeley}
31
32
33\title[DSP et Sismologie]{Traitement de signaux pour la détection de séismes et leur multilatération}
34\subtitle{Théorie, pratique et résultats}
35
36\author[Dalibard]{Dalibard Louis}
37\date{\today}
38
39% Define custom colors
40\definecolor{mmi1}{HTML}{FFFFFF}
41\definecolor{mmi2}{HTML}{BFCCFF}
42\definecolor{mmi3}{HTML}{A0E6FF}
43\definecolor{mmi4}{HTML}{80FFFF}
44\definecolor{mmi5}{HTML}{7AFF93}
45\definecolor{mmi6}{HTML}{FFFF00}
46\definecolor{mmi7}{HTML}{FFC800}
47\definecolor{mmi8}{HTML}{FF9100}
48\definecolor{mmi9}{HTML}{FF0000}
49\definecolor{mmi10}{HTML}{C80000}
50\definecolor{mmi11}{HTML}{A40000}
51\definecolor{mmi12}{HTML}{800000}
52
53\begin{document}
54\begin{frame}
55 \titlepage
56\end{frame}
57\AtBeginSection[] { \begin{frame}\frametitle{Table des contenus} \tableofcontents[currentsection]\end{frame} }
58
59\section{Séismes}
60\begin{frame}
61 \frametitle{Introduction}
62 \begin{center}
63 \includegraphics[width=8cm, trim={0 0 0 0}, clip]{eq-ed-fault-labeled.png}
64 \end{center}
65\end{frame}
66\begin{frame}
67 \frametitle{Ondes P et S}
68 \begin{figure}%
69 \centering
70 \subfloat[\centering Ondes P]{{\includegraphics[width=4cm, trim={0 0 0 0}, clip]{Onde_compression_impulsion_1d_30_petit.png}}}%
71 \qquad
72 \subfloat[\centering Ondes S]{{\includegraphics[width=4cm, trim={0 0 0 0}, clip]{Onde_cisaillement_impulsion_1d_30_petit.png}}}%
73 \caption{Ondes P et S}%
74 \label{fig:ondespets}%
75\end{figure}
76\end{frame}
77
78\begin{frame}
79 \frametitle{Ondes P et S}
80 \begin{center}
81 \includegraphics[width=7cm, trim={0 12.5mm 0cm 2cm}, clip]{2025-03-26T23:29:53,572838335+01:00.png}
82 \captionof{figure}{6 km/s (ondes P) vs 4 km/s (ondes S)}
83 \end{center}
84\end{frame}
85
86\section{Théorie}
87\begin{frame}
88 \frametitle{Principe}
89 Différentes étapes:
90 \begin{enumerate}
91 \item Acquisition de données en temps réel (SeedLink)
92 \item Reconnaissance d'un séisme et mesure automatique des temps
93 \item Calcul de la position et de la magnitude
94 \begin{enumerate}
95 \item Modélisation de la propagation des ondes sismiques
96 \item Méthode numérique d'optimisation de fonction à plusieurs variables pour la multilatération
97 \item Calcul de la magnitude
98 \end{enumerate}
99 \end{enumerate}
100\end{frame}
101
102\subsection{DSP}
103\begin{frame}
104\frametitle{Acquisition des données}
105\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
106
107\tiny
108\begin{longtable}{|l|l|}
109 \hline
110 \textbf{Name} & \textbf{Host} \\
111 \hline
112 AusPass & auspass.edu.au \\
113 BGR & eida.bgr.de \\
114 CISMID & www.cismid.uni.edu.pe \\
115 ENS & ephesite.ens.fr \\
116 \dots & \dots \\
117 Red Sìsmica Baru & helis.redsismicabaru.com \\
118 RESIF & rtserve.resif.fr \\
119 SANET & 147.213.113.73 \\
120 RSIS & rsis1.on.br \\
121 SCSN-USC (South Carolina Seismic Network) & eeyore.seis.sc.edu:6382 \\
122 Seisme IRD & rtserve.ird.nc \\
123 Staneo & vibrato.staneo.fr \\
124 SNAC NOA & snac.gein.noa.gr \\
125 TexNet & rtserve.beg.utexas.edu \\
126 Thai Meteorological Department & 119.46.126.38 \\
127 UFRN (Universidade Federal do Rio Grande do Norte) & sislink.geofisica.ufrn.br \\
128 Unical Universita Della Calabria & www.sismocal.org \\
129 UNITS Università degli studi di Trieste & rtweb.units.it \\
130 UNIV-AG Université des Antilles & seedsrv0.ovmp.martinique.univ-ag.fr \\
131 Universidade de Évora & clv-cge.uevora.pt \\
132 Universidad de Colima & 148.213.24.15 \\
133 UPR & worm.uprm.edu \\
134 USGS & cwbpub.cr.usgs.gov \\
135 USP-IAG & seisrequest.iag.usp.br \\
136 \hline
137\end{longtable}
138\end{frame}
139\begin{frame}
140\frametitle{Extraction des temps d'arrivée}
141\begin{center}
142 \includegraphics[width=10cm, trim={0 0 0 0}, clip]{R0ED0.EHZ-1743142835749.9944-cropped.png}\\
143 \captionof{figure}{Exemple d'un enregistrement de sismographe}
144\end{center}
145\end{frame}
146\begin{frame}
147\frametitle{Convolution}
148\begin{center}
149 \begin{center}
150\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
151 \begin{axis}[
152 axis lines = middle,
153 xlabel = {$x$},
154 ylabel = {$y$},
155 samples=100,
156 domain=-6:6,
157 legend pos=north east,
158 width=2\textwidth,
159 height=0.7\textheight
160 ]
161 % Define the functions
162 \addplot[blue, thick] {sin(deg(x))} node[right] {\footnotesize $f(x) = \sin x$};
163 \addplot[red, thick] {cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $g(x) = \cos 2x$};
164 \addplot[green, thick] {sin(deg(x)) + cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $h(x) = f(x) + g(x)$};
165
166 % Add legend
167 \legend{$f(x) = \sin x$, $g(x) = \cos 2x$, $h(x) = f(x) + g(x)$}
168 \end{axis}
169\end{tikzpicture}
170\end{center}
171\begin{center}
172\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
173 \begin{axis}[
174 axis lines = middle,
175 xlabel = {$x$},
176 ylabel = {$y$},
177 samples=100,
178 domain=-6:6,
179 legend pos=north east,
180 width=2\textwidth,
181 height=0.7\textheight
182 ]
183 % Define the functions
184 \addplot[blue, thick] {sin(deg(x))} node[right] {\footnotesize $f(x) = \sin x$};
185 \addplot[red, thick] {cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $g(x) = \cos 2x$};
186 \addplot[green, thick] {sin(deg(x)) * cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $h(x) = f(x) \cdot g(x)$};
187
188 % Add legend
189 \legend{$f(x) = \sin x$, $g(x) = \cos 2x$, $h(x) = f(x) \cdot g(x)$}
190 \end{axis}
191\end{tikzpicture}
192\end{center}
193\begin{center}
194\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
195 \begin{axis}[
196 axis lines = middle,
197 xlabel = {$x$},
198 ylabel = {$y$},
199 samples=100,
200 domain=-6:6,
201 legend pos=north east,
202 width=2\textwidth,
203 height=0.7\textheight
204 ]
205 % Define the functions
206 \addplot[blue, thick] {sin(deg(x))} node[right] {\footnotesize $f(x) = \sin x$};
207 \addplot[red, thick] {cos(deg(2*x))} node[right] {\footnotesize $g(x) = \cos 2x$};
208 \addplot[green, thick] {0} node[right] {\footnotesize $h(x) = (f*g)(x)$};
209
210 % Add legend
211 \legend{$f(x) = \sin x$, $g(x) = \cos 2x$, $h(x) = (f*g)(x) = 0$}
212 \end{axis}
213\end{tikzpicture}
214\end{center}
215\end{center}
216\end{frame}
217\begin{frame}
218\frametitle{Convolution}
219Soit $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $\mathbb{R}$.
220Pour tout $t \in \mathbb{R}$,
221\[ (f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot g(t-x) dx \]
222
223Soit $f$ et $g$ deux fonctions de $\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{C}$.
224Pour tout $n \in \mathbb{Z}$,
225\[ (f*g)[n]=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} f[m] \cdot g[n-m] \]
226
227Pour des fonctions périodiques, on intègre sur une période.
228Pour tout $t \in \mathbb{R}$,
229\[ (f*g)(t)=\int_{0}^{T} f(x) \cdot g(t-x) dx \]
230\end{frame}
231
232\begin{frame}
233\frametitle{Propriétés algébriques de la convolution}
234\begin{itemize}
235\item Commutatif
236
237On remarquera que si \[ (f*g)(t)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot g(t-x) dx \]
238
239Et on fait le changement de variable $u=t-x$
240
241On a \[ (f*g)(t)=\int_{+\infty}^{-\infty} f(t-u) \cdot g(u) -du\]
242\[=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-u) \cdot g(u) du=(g*f)(t)\]
243\end{itemize}
244\end{frame}
245
246\begin{frame}
247\frametitle{Propriétés algébriques de la convolution}
248\begin{itemize}
249\item Distributif
250\[ f*(g+h)= f*g+f*h \]
251Par linéarité de l'intégrale.
252\item Associatif
253\[ (f*g)*h= f*(g*h) \]
254C'est une conséquence du théorème de Fubini.
255\end{itemize}
256
257L'espace des fonctions intégrables muni de $*$ forme un demi-groupe commutatif (car pas d'élement neutre).
258\end{frame}
259
260\begin{frame}
261\frametitle{Exemple avec des combinaisons de dés}
262\begin{center}
263\vspace*{0.75cm}
264 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
265 % Define Dice Faces
266 \def\diceA{1,2,3,4,5,6} % Top Die (Static)
267 \def\diceB{6,5,4,3,2,1} % Bottom Die (Sliding)
268
269 % Define step spacing
270 \def\stepSpace{3}
271
272 % Loop through each step
273 \foreach \step in {-5,-4,-3,-2} {
274 \pgfmathsetmacro{\sommedonnant}{int(7 + \step)}
275 % Label step number
276 \node[anchor=east] at (-0.5, -\step*3) {Somme donnant \sommedonnant:};
277
278 % Top Row - Fixed Dice
279 \foreach \x [count=\i] in \diceA {
280 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i, -\step*3) {\x};
281 }
282
283 % Bottom Row - Sliding Dice
284 \foreach \x [count=\i] in \diceB {
285 \pgfmathsetmacro{\sumval}{int(\i + \step)}
286 \ifnum \sumval > 0 \ifnum \sumval < 7 \node[draw=red, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
287 \else
288 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
289 \fi
290 \else
291 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
292 \fi
293 }
294 }
295 \end{tikzpicture}
296\end{center}
297\end{frame}
298\begin{frame}
299\frametitle{Exemple avec des combinaisons de dés}
300\begin{center}
301\vspace*{0.75cm}
302 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
303 % Define Dice Faces
304 \def\diceA{1,2,3,4,5,6} % Top Die (Static)
305 \def\diceB{6,5,4,3,2,1} % Bottom Die (Sliding)
306
307 % Define step spacing
308 \def\stepSpace{3}
309
310 % Loop through each step
311 \foreach \step in {-1,0,1,2} {
312 \pgfmathsetmacro{\sommedonnant}{int(7 + \step)}
313 % Label step number
314 \node[anchor=east] at (-0.5, -\step*3) {Somme donnant \sommedonnant:};
315
316 % Top Row - Fixed Dice
317 \foreach \x [count=\i] in \diceA {
318 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i, -\step*3) {\x};
319 }
320
321 % Bottom Row - Sliding Dice
322 \foreach \x [count=\i] in \diceB {
323 \pgfmathsetmacro{\sumval}{int(\i + \step)}
324 \ifnum \sumval > 0 \ifnum \sumval < 7 \node[draw=red, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
325 \else
326 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
327 \fi
328 \else
329 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
330 \fi
331 }
332 }
333 \end{tikzpicture}
334\end{center}
335\end{frame}
336\begin{frame}
337\frametitle{Exemple avec des combinaisons de dés}
338\begin{center}
339\vspace*{0.75cm}
340 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
341 % Define Dice Faces
342 \def\diceA{1,2,3,4,5,6} % Top Die (Static)
343 \def\diceB{6,5,4,3,2,1} % Bottom Die (Sliding)
344
345 % Define step spacing
346 \def\stepSpace{3}
347
348 % Loop through each step
349 \foreach \step in {3,4,5} {
350 \pgfmathsetmacro{\sommedonnant}{int(7 + \step)}
351 % Label step number
352 \node[anchor=east] at (-0.5, -\step*3) {Somme donnant \sommedonnant:};
353
354 % Top Row - Fixed Dice
355 \foreach \x [count=\i] in \diceA {
356 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i, -\step*3) {\x};
357 }
358
359 % Bottom Row - Sliding Dice
360 \foreach \x [count=\i] in \diceB {
361 \pgfmathsetmacro{\sumval}{int(\i + \step)}
362 \ifnum \sumval > 0 \ifnum \sumval < 7 \node[draw=red, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
363 \else
364 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
365 \fi
366 \else
367 \node[draw, minimum size=0.5cm] at (\i+\step, -\step*3-1) {\x};
368 \fi
369 }
370 }
371 \end{tikzpicture}
372\end{center}
373\end{frame}
374\begin{frame}
375 \frametitle{Lien avec les convolutions}
376 \begin{center}
377\noindent\begin{minipage}{.5\textwidth}
378\centering
379 \begin{tikzpicture}[scale=0.4]
380 \begin{axis}[
381 xlabel={Somme},
382 ylabel={Fréquence},
383 ymin=0,
384 ymax=7,
385 xmin=1.5,
386 xmax=12.5,
387 xtick={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},
388 ytick={1,2,3,4,5,6,7},
389 area style,
390 width=12cm,
391 height=8cm,
392 major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
393 grid=major,
394 bar width=0.8,
395 title={Distribution des sommes},
396 nodes near coords,
397 ]
398 \addplot[fill=blue!40, draw=blue!80, opacity=0.8] coordinates {
399 (2,1)
400 (3,2)
401 (4,3)
402 (5,4)
403 (6,5)
404 (7,6)
405 (8,5)
406 (9,4)
407 (10,3)
408 (11,2)
409 (12,1)
410 };
411 \end{axis}
412\end{tikzpicture}
413 \end{minipage}%
414\begin{minipage}{.5\textwidth}
415\centering
416 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
417 \begin{axis}[
418 xlabel={$x$},
419 ylabel={$f(x)$},
420 xmin=-1,
421 xmax=8,
422 ymin=-0.2,
423 ymax=1.4,
424 xtick={-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8},
425 ytick={0,1},
426 width=10cm,
427 height=6cm,
428 grid=major,
429 title={Fonction nulle puis constante égale à $1$ puis nulle},
430 samples=100,
431 domain=-1:8,
432 clip=false,
433 ]
434 % Plot the function
435 \addplot[blue, thick, const plot] coordinates {
436 (-1, 0)
437 (0.999, 0)
438 (1, 1)
439 (6, 1)
440 (6.001, 0)
441 (8, 0)
442 };
443
444 % Add markers to explicitly show the endpoints
445 \addplot[only marks, mark=*, mark options={fill=red}] coordinates {
446 (1, 1)
447 (6, 1)
448 };
449
450 \end{axis}
451\end{tikzpicture}
452 \end{minipage}
453\end{center}
454\begin{center}
455\includegraphics[width=7cm, trim={0 0 0 0}, clip]{2025-04-01T23:42:09,818697014+02:00.png}
456\captionof{figure}{numpy confirme ce résultat}
457\end{center}
458\end{frame}
459\begin{frame}
460 \frametitle{Intuition sur la convolution}
461 \begin{center}
462 \begin{tikzpicture}
463 \begin{axis}[
464 axis lines = middle,
465 xlabel = {$x$},
466 ylabel = {$y$},
467 samples=100,
468 domain=-6:6,
469 legend pos=north east,
470 width=1\textwidth,
471 height=1.1\textheight
472 ]
473 \addplot[blue, thick] {cos(deg(2*x))};
474 \addlegendentry{$\cos(2x)$}
475 \addplot[red, thick] {sin(deg(x))};
476 \addlegendentry{$\sin(x)$}
477 \end{axis}
478 \end{tikzpicture}
479 \end{center}
480\end{frame}
481\begin{frame}
482 \frametitle{Intuition sur la convolution}
483 \begin{center}
484 \begin{tikzpicture}
485 \begin{axis}[
486 axis lines = middle,
487 xlabel = {$x$},
488 ylabel = {$y$},
489 samples=100,
490 domain=-6:6,
491 legend pos=north east,
492 width=1\textwidth,
493 height=1.1\textheight
494 ]
495 \addplot[blue, thick] {cos(deg(2*x))};
496 \addlegendentry{$\cos(2x)$}
497 \addplot[red, thick] {sin(deg(-x))};
498 \addlegendentry{$\sin(-x)$}
499 \end{axis}
500 \end{tikzpicture}
501 \end{center}
502\end{frame}
503\begin{frame}
504 \frametitle{Intuition sur la convolution}
505 \begin{center}
506 \begin{tikzpicture}
507 \begin{axis}[
508 axis lines = middle,
509 xlabel = {$x$},
510 ylabel = {$y$},
511 samples=100,
512 domain=-6:6,
513 legend pos=north east,
514 width=1\textwidth,
515 height=1.1\textheight
516 ]
517 \addplot[blue, thick] {cos(deg(2*x))*sin(deg(-x))};
518 \addlegendentry{$\cos(2x)\sin(-x)$}
519
520 % Highlight positive areas in red
521 \addplot [fill=red, opacity=0.3, domain=-2*pi:2*pi]
522 {max(0, cos(deg(2*x))*sin(deg(-x)))} \closedcycle;
523
524 % Highlight negative areas in blue
525 \addplot [fill=blue, opacity=0.3, domain=-2*pi:2*pi]
526 {min(0, cos(deg(2*x))*sin(deg(-x)))} \closedcycle;
527
528 \end{axis}
529 \end{tikzpicture}
530 \end{center}
531\end{frame}
532\begin{frame}
533 \frametitle{Moyennage}
534\begin{center}
535 \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
536 \begin{axis}[
537 xlabel={$x$},
538 ylabel={$y$},
539 xmin=-0.5,
540 xmax=23.5,
541 ymin=-0.5,
542 ymax=9,
543 xtick={0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22},
544 width=12cm,
545 height=8cm,
546 grid=major,
547 title={Moyennage par convolution},
548 legend pos=north west,
549 ]
550 % Plot the first dataset with connected lines
551 \addplot[blue, thick] coordinates {
552 (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,1) (5,2) (6,3) (7,4) (8,5) (9,6) (10,7) (11,8)
553 (12,0) (13,4) (14,2) (15,3) (16,8) (17,1) (18,2) (19,4) (20,8) (21,0) (22,0) (23,0)
554 };
555
556 % Plot the second dataset with connected lines
557 \addplot[red, thick] coordinates {
558 (0,0)
559 (1,0.16666667)
560 (2,0.5)
561 (3,1)
562 (4,1.66666667)
563 (5,2.5)
564 (6,3.5)
565 (7,4.5)
566 (8,5.5)
567 (9,5)
568 (10,5)
569 (11,4.5)
570 (12,4)
571 (13,4.16666667)
572 (14,3)
573 (15,3.33333333)
574 (16,3.33333333)
575 (17,4.33333333)
576 (18,3.83333333)
577 (19,2.5)
578 (20,2.33333333)
579 (21,2)
580 (22,1.33333333)
581 (23,0)
582 };
583
584 \legend{$g$, $g*\frac{f}{6}$}
585
586 \end{axis}
587 \end{tikzpicture}
588\end{center}
589\end{frame}
590\begin{frame}
591 \frametitle{Transformée de Fourier discrète}
592 $a=[a_0,a_1,...,a_{n-1}]$ et $b=[b_0,b_1,...,b_{k-1}]$
593
594$(a*b)[p] = \sum\limits_{\substack{i\in\mathbb{Z} \\ 0\leq p-i\leq k\\ 0\leq i\leq n-1}} a_ib_{p-i}$
595
596$P(X)=\sum_{i=0}^{n-1} a_i X^i$ et $Q(X)=\sum_{j=0}^{k-1} a_j X^j$
597
598$(a*b)[p]$ est le coefficient du terme de degré $p$ dans le produit:
599
600$PQ(X)=\sum_{j=0}^p(\sum\limits_{\substack{i\in\mathbb{Z} \\ 0\leq p-i\leq k-1\\ 0\leq i\leq n-1}} a_ib_{j-i})X^j$
601
602On va évaluer en $\omega_n^k = e^{-\frac{2ki\pi}{n}}$ et utiliser la rigidité des polynômes.
603\end{frame}
604\begin{frame}
605 \frametitle{Utilisation de la rigidité des polynômes}
606On va évaluer en $\omega_n^k = e^{-\frac{2ki\pi}{n}}$, multiplier deux à deux les résultats et utiliser la rigidité des polynômes pour récuperer les coefficients finaux.
607
608\end{frame}
609
610\begin{frame}
611 \frametitle{Radix-2 decimation-in-time (DIT) - Factorisation Cooley-Tukey}
612Evaluer notre polynôme $P(x)=\sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i$ en les $\omega_n^k$ revient à faire la multiplication matricielle suivante:
613\small{
614\[
615R=\begin{bmatrix} f_0 \\ f_1 \\ \vdots \\ f_{n-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P(\omega_n^0) \\ P(\omega_n^1) \\ \vdots \\ P(\omega_n^{n-1}) \end{bmatrix}\]
616\[=
617\begin{bmatrix}
6181 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
6191 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \cdots & \omega_n^{n-1} \\
6201 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \cdots & \omega_n^{2(n-1)} \\
621\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
6221 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} & \cdots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
623\end{bmatrix}
624\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix}
625\]}
626\end{frame}
627
628\begin{frame}
629 \frametitle{Radix-2 decimation-in-time (DIT) - Factorisation Cooley-Tukey}
630On se restreint au cas où $n=2^p$ ($p \in \mathbb{N}$)
631
632On note la matrice de Vandermonde transposée, qui permet de calculer le DFT pour tous nos coefficients,
633\small{
634$F_{2^p}=\begin{bmatrix}
6351 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
6361 & \omega_n^1 & \omega_n^2 & \cdots & \omega_n^{n-1} \\
6371 & \omega_n^2 & \omega_n^4 & \cdots & \omega_n^{2(n-1)} \\
638\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
6391 & \omega_n^{n-1} & \omega_n^{2(n-1)} & \cdots & \omega_n^{(n-1)(n-1)}
640\end{bmatrix}$
641}
642
643On prend cette matrice diagonale,
644\small{
645$D_{2^{p-1}} =
646\begin{bmatrix}
6471 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
6480 & \omega_{2^{p-1}} & 0 & \cdots & 0 \\
6490 & 0 & \omega_{2^{p-1}}^2 & \cdots & 0 \\
650\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
6510 & 0 & 0 & \cdots & \omega_{2^{p-1}}^{2^{p-1}-1}
652\end{bmatrix}$
653}
654
655\end{frame}
656
657\begin{frame}
658\frametitle{Radix-2 decimation-in-time (DIT) - Factorisation Cooley-Tukey}
659\tiny{
660\begin{equation*}
661R=F_{2^p}\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix}=
662\begin{pNiceArray}{cc|cc}
663 \eqnmarkbox[blue]{mcoeffdiag1}{I_{2^{p-1}}} && \eqnmarkbox[blue]{mcoeffdiag2}{D_{2^{p-1}}} \\
664 \hline
665 \eqnmarkbox[blue]{mcoeffdiag3}{I_{2^{p-1}}} && \eqnmarkbox[blue]{mcoeffdiag4}{-D_{2^{p-1}}}
666\end{pNiceArray}
667\begin{pNiceArray}{cc|cc}
668 \eqnmarkbox[cyan]{mrecurrence1}{F_{2^{p-1}}} && \mathbf{0} \\
669 \hline
670 \mathbf{0} && \eqnmarkbox[cyan]{mrecurrence2}{F_{2^{p-1}}}
671\end{pNiceArray}
672\begin{bmatrix}
673 \eqnmarkbox[green]{mcoeffpairs1}{a_0} \\
674 \eqnmarkbox[green]{mcoeffpairs2}{a_2} \\
675 \vdots \\
676 \eqnmarkbox[green]{mcoeffpairs3}{a_{2^{p-1}-2}} \\
677 \eqnmarkbox[green]{mcoeffpairs4}{a_{2^{p-1}}} \\
678 \eqnmarkbox[magenta]{mcoeffimpairs1}{a_{1}} \\
679 \eqnmarkbox[magenta]{mcoeffimpairs2}{a_{3}} \\
680 \vdots \\
681 \eqnmarkbox[magenta]{mcoeffimpairs3}{a_{n-3}} \\
682 \eqnmarkbox[magenta]{mcoeffimpairs4}{a_{n-1}}
683\end{bmatrix}
684\end{equation*}
685}
686\annotatetwo[yshift=1em]{above}{mcoeffdiag1}{mcoeffdiag2}{Blocs diagonaux, de l'ordre de $\mathcal{O}(n)$ opérations}
687\annotate[yshift=1em]{above,left}{mcoeffpairs1}{Coefficients d'indice pair}
688\annotate[yshift=0em]{below,left}{mcoeffimpairs4}{Coefficients d'indice impair}
689\annotate[yshift=0em]{below,left}{mrecurrence2}{Récurrence}
690\end{frame}
691
692\begin{frame}
693\frametitle{Radix-2 decimation-in-time (DIT) - Factorisation Cooley-Tukey}
694On évalue la compléxité de l'algorithme.\\
695On note $u_p$ sa complexité en fonction de $p$ et $C_n$ sa complexité en fonction de $n$.
696
697\vspace*{0.3cm}
698\begin{equation*}
699u_{p+1}=\eqnmarkbox[magenta]{cdiagmult}{A \cdot 2^{p+1}}+\eqnmarkbox[red]{crec}{2u_{p}}
700\end{equation*}
701\annotate[yshift=0.5em]{above,left}{cdiagmult}{Compléxité du produit sur la diagonale}
702\annotate[yshift=0em]{below,left}{crec}{Traitement des coefficients par récurrence}
703
704On factorise par la solution homogène,
705$\frac{u_{p+1}}{2^{p+1}}=A+\frac{u_{p}}{2^p}$
706
707$\frac{u_{p}}{2^{p}}=u_{0}+A\cdot p$
708
709$u_{p}=u_{0}\cdot2^{p}+A\cdot p \cdot 2^{p}$
710
711Or $p=\log_2{n}$
712
713Donc $C_n = u_{\log_2{n}} = u_{0} \cdot n+A \cdot \log_2{n} \cdot n = \mathcal{O}(n \log n)$
714\end{frame}
715
716\begin{frame}
717\frametitle{IFFT}
718On peut montrer que:
719$F_{2^p}^{-1}=\frac{1}{2^p}\begin{bmatrix}
7201 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\
7211 & \overline{\omega_n}^1 & \overline{\omega_n}^2 & \cdots & \overline{\omega_n}^{n-1} \\
7221 & \overline{\omega_n}^2 & \overline{\omega_n}^4 & \cdots & \overline{\omega_n}^{2(n-1)} \\
723\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
7241 & \overline{\omega_n}^{n-1} & \overline{\omega_n}^{2(n-1)} & \cdots & \overline{\omega_n}^{(n-1)(n-1)}
725\end{bmatrix}$
726
727Et on a:
728
729$A=\begin{bmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_{n-1} \end{bmatrix}=F_{2^p}^{-1}R=F_{2^p}^{-1}\begin{bmatrix} f_0 \\ f_1 \\ \vdots \\ f_{n-1} \end{bmatrix}$
730
731
732\end{frame}
733\begin{frame}
734\frametitle{IFFT}
735Le conjugué passe au produit et à la somme, donc aussi pour les matrices (prendre le conjugué d'une matrice c'est prendre le conjugué des termes de la matrice).
736
737$A=\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{F_{2^p}^{-1}R}}=\overline{\overline{F_{2^p}^{-1}}\overline{R}}=\frac{1}{2^p}\overline{F_{2^p}\overline{R}}$
738
739On peut donc utiliser la même technique, en prenant le conjugué avant d'appliquer un FFT et en le prenant après puis en renormalisant.
740\end{frame}
741
742\begin{frame}
743\frametitle{Passage du domaine temporel au domaine fréquentiel}
744Le fait de multiplier par ces coefficients spécifiques, revient à décomposer en ondes sinusoidales de différentes fréquences et phases notre signal.
745\end{frame}
746
747\begin{frame}
748\frametitle{Corrélation croisée}
749Si on définit $\tilde{f}(t)=f(-t)$
750
751La corrélation croisée de \(f\) et \(g\) est \( (g * \tilde{f})(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(x-t)} g(x) \, dx \)
752
753\begin{center}
754 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
755 \begin{axis}[
756 axis lines = middle,
757 xlabel = {$x$},
758 ylabel = {$y$},
759 samples=100,
760 domain=-6:6,
761 legend pos=north east,
762 width=2\textwidth,
763 height=0.6\textheight
764 ]
765 \addplot[blue, thick] {cos(deg(x))};
766 \addlegendentry{$g(x)=\cos(x)$}
767 \addplot[red, thick] {sin(deg(x))};
768 \addlegendentry{$f(x)=\sin(x)$}
769 \end{axis}
770 \end{tikzpicture}
771 \end{center}
772
773 \begin{center}
774 \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
775 \begin{axis}[
776 axis lines = middle,
777 xlabel = {$x$},
778 ylabel = {$y$},
779 samples=100,
780 domain=-6:6,
781 legend pos=north east,
782 width=2\textwidth,
783 height=0.6\textheight
784 ]
785 \addplot[blue, thick] {pi*sin(deg(x))};
786 \addlegendentry{$(g * \tilde{f})(t) = \pi \sin(t)$}
787 \end{axis}
788 \end{tikzpicture}
789 \end{center}
790
791\end{frame}
792
793
794\subsection{Modélisation de la propagation des ondes sismiques}
795\begin{frame}
796 \frametitle{Calcul du temps de propagation selon iasp91}
797 \begin{figure}%
798 \centering
799 \subfloat[\centering TauPy]{{\includegraphics[width=3cm, trim={0 0 0 0}, clip]{2025-03-26T23:10:40,393866488+01:00-side.png}}}%
800 \qquad
801 \subfloat[\centering]{{\includegraphics[width=4cm, trim={0 0 0 0}, clip]{IASP91.png}}}%
802 \caption{iasp91}%
803 \label{fig:iasp91}%
804\end{figure}
805\end{frame}
806\begin{frame}
807 \frametitle{Tabulation et interpolation}
808\begin{center}
809 \includegraphics[width=10cm, trim={12cm 4cm 12cm 8cm}, clip]{2025-03-24T00:28:53,070002973+01:00.png}\\
810 \captionof{figure}{Visualization des deux tables précalculées}
811\end{center}
812\end{frame}
813\subsection{Multilatération}
814\begin{frame}
815\frametitle{Fonction d'erreur}
816\vspace*{1em}
817\tiny{
818\begin{equation*}
819 \text{E}(\eqnmarkbox[blue]{p1}{depth},\eqnmarkbox[blue]{p2}{lat},\eqnmarkbox[blue]{p3}{lon},\eqnmarkbox[blue]{p4}{epoch},\eqnmarkbox[green]{p5}{obs})=\end{equation*}\vspace*{5em}
820 \begin{equation*}\sum_i \left(\frac{\eqnmarkbox[green]{p6}{(obs_iS-epoch)}-\eqnmarkbox[blue]{p7}{\text{S}(depth, \eqnmark[red]{p8}{\text{greatCircleAngle}(lat,lon,lat_i,lon_i))}}}{\eqnmarkbox[green]{p9}{obs_iS-epoch}}\right)^{\eqnmarkbox[magenta]{p11}{2}}+
821 \end{equation*}\vspace*{3em}
822 \begin{equation*}
823 \eqnmarkbox[pink]{p10}{\left(\frac{(obs_iP-epoch)-\text{P}(depth, \text{greatCircleAngle}(lat,lon,lat_i,lon_i))}{obs_iP-epoch}\right)^2}
824\end{equation*}}
825\annotate[yshift=0em]{below}{p1}{\tiny{Profondeur estimée}}
826\annotatetwo[yshift=1.2em]{above}{p2}{p3}{\tiny{Latitude et longitude estimée}}
827\annotate[yshift=0.5em]{above}{p4}{\tiny{Date de début du séisme estimée}}
828\annotate[yshift=-0.4em]{below}{p5}{\tiny{Tableau des observations}}
829\annotate[yshift=2.5em]{above}{p6}{\tiny{Temps de propagation avec la date de début du séisme estimée}}
830\annotate[yshift=3.5em]{above,left}{p7}{\tiny{Temps de propagation calculé par le modèle}}
831\annotate[yshift=1em]{above,left}{p8}{\tiny{Calcul de l'angle entre le seismographe et la position estimée du séisme}}
832\annotate[yshift=0em]{below,left}{p9}{\tiny{Renormalisation}}
833\annotate[yshift=-6em]{below,left}{p11}{\tiny{On fait la moyenne quadratique pour avoir l'écart}}
834\annotate[yshift=0em]{below,left}{p10}{\tiny{Idem mais pour l'onde P}}
835\end{frame}
836\begin{frame}
837\frametitle{Implémentation de la fonction d'erreur}
838\begin{center}
839 \includegraphics[width=10cm, trim={0 0 0 0}, clip]{2025-03-31T10:14:11,496825900+02:00.png}\\
840 \captionof{figure}{Implémentation de la fonction d'erreur}
841\end{center}
842\end{frame}
843\begin{frame}
844\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
845\centering
846\includegraphics[width=10cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/An-iteration-of-the-Nelder-Mead-method-over-two-dimensional-space-showing-point-p-min.png}
847 \captionof{figure}{Une itération de Nelder-Mead sur un espace de dimension 2}
848\end{frame}
849\begin{frame}
850\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
851\centering
852\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0001.png}
853 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
854\end{frame}
855\begin{frame}
856\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
857\centering
858\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0002.png}
859 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
860\end{frame}
861\begin{frame}
862\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
863\centering
864\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0003.png}
865 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
866\end{frame}
867\begin{frame}
868\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
869\centering
870\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0004.png}
871 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
872\end{frame}
873\begin{frame}
874\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
875\centering
876\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0005.png}
877 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
878\end{frame}
879\begin{frame}
880\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
881\centering
882\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0006.png}
883 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
884\end{frame}
885\begin{frame}
886\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
887\centering
888\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0007.png}
889 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
890\end{frame}
891\begin{frame}
892\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
893\centering
894\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0008.png}
895 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
896\end{frame}
897\begin{frame}
898\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
899\centering
900\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0009.png}
901 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
902\end{frame}
903\begin{frame}
904\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
905\centering
906\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0010.png}
907 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
908\end{frame}
909\begin{frame}
910\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
911\centering
912\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0011.png}
913 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
914\end{frame}
915\begin{frame}
916\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
917\centering
918\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0012.png}
919 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
920\end{frame}
921\begin{frame}
922\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
923\centering
924\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0013.png}
925 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
926\end{frame}
927\begin{frame}
928\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
929\centering
930\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0014.png}
931 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
932\end{frame}
933\begin{frame}
934\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
935\centering
936\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0015.png}
937 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
938\end{frame}
939\begin{frame}
940\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
941\centering
942\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0016.png}
943 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
944\end{frame}
945\begin{frame}
946\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
947\centering
948\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0017.png}
949 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
950\end{frame}
951\begin{frame}
952\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
953\centering
954\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0018.png}
955 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
956\end{frame}
957\begin{frame}
958\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
959\centering
960\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0019.png}
961 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
962\end{frame}
963\begin{frame}
964\frametitle{Méthode de Nelder-Mead}
965\centering
966\includegraphics[width=6cm, trim={0 0 0 0}, clip]{neldermead/Nelder-Mead_Himmelblau-0020.png}
967 \captionof{figure}{Nelder-Mead sur la fonction de Himmelblau}
968\end{frame}
969\subsection{Magnitude sismique}
970\begin{frame}
971\frametitle{Formule de calcul de magnitude sur l'échelle Richter}
972\[
973M_\mathrm{L} = \log_{10} \left[ \frac{A}{A_\mathrm{0}(\delta)} \right]
974\]
975
976\noindent
977où $A$ correspond à l'amplitude maximale mesurée (en m) par le sismographe et $A_\mathrm{0}(\delta)$ un coefficient de correction qui dépend de la distance ($\delta$) à l'epicentre et dont le calcul diffère selon les modèles employés (généralement on utilise une table de correrlation empirique).
978
979
980On utilisera la formule empirique de Tsuboi (Université de Tokyo):
981\[
982M_{\mathrm{L}} = \log_{10} A + 1.73 \log_{10} \Delta - 0.83
983\]
984
985\noindent
986où \( A \) est l'amplitude en micromètres et \( \Delta \) est la distance en kilomètres.
987\end{frame}
988\begin{frame}
989\frametitle{Tableau}
990\tiny
991\begin{center}
992\begin{tabular}{|>{\columncolor{white}}l|l|l|p{5cm}|}
993\hline
994\rowcolor{gray!30}
995\textbf{Magnitude} & \textbf{Description} & \textbf{MMI Typique} & \textbf{Effets Moyens du Séisme} \\
996\hline
997\cellcolor{mmi1}1.0 - 1.9 & Micro & I & Micro-séismes, non ressentis. Enregistrés par les sismographes. \\
998\hline
999\cellcolor{mmi1}2.0 - 2.9 & Mineur & I & Légèrement ressenti par certaines personnes. Aucun dommage aux bâtiments. \\
1000\hline
1001\cellcolor{mmi3}3.0 - 3.9 & Léger & II à III & Souvent ressenti, mais cause rarement des dégâts. Secousses perceptibles d’objets à l’intérieur. \\
1002\hline
1003\cellcolor{mmi5}4.0 - 4.9 & Faible & IV à V & Secousses intérieures notables et bruits de cliquetis. Légèrement ressenti à l’extérieur. Dégâts minimes possibles. \\
1004\hline
1005\cellcolor{mmi6}5.0 - 5.9 & Modéré & VI à VII & Peut endommager les bâtiments mal construits ; ressenti par tous. Peu ou pas de dégâts aux bâtiments solides. \\
1006\hline
1007\cellcolor{mmi7}6.0 - 6.9 & Fort & VII à IX & Dégâts modérés aux structures solides ; dégâts sévères aux structures faibles. Ressenti sur de grandes régions. \\
1008\hline
1009\cellcolor{mmi8}7.0 - 7.9 & Majeur & VIII ou plus & Dégâts majeurs et effondrements possibles. Dommages concentrés dans un rayon de 250 km. \\
1010\hline
1011\cellcolor{mmi9}8.0 - 8.9 & Très fort & VIII+ & Destructions majeures à totales. Dommages sur des zones très vastes. Ressenti à très grande distance de l’épicentre. \\
1012\hline
1013\cellcolor{mmi10}9.0 - 9.9 & Extrême & XII & Destruction quasi-totale, dégâts graves ou effondrement de tous les bâtiments. Modification du relief. \\
1014\hline
1015\end{tabular}
1016\end{center}
1017\end{frame}
1018
1019
1020\section{Résultats}
1021\subsection{Tests}
1022\begin{frame}
1023\frametitle{rs2025flrsdg}
1024\begin{center}
1025\includegraphics[width=10cm, trim={30cm 1cm 30cm 1cm}, clip]{debugMaps/rs2025flrsdg.png}
1026 \captionof{figure}{Mon estimation (avec les données RaspberryShake)}
1027\end{center}
1028\end{frame}
1029\begin{frame}
1030\frametitle{rs2025fwmrzv}
1031\begin{center}
1032\noindent\begin{minipage}{.5\textwidth}
1033\centering
1034 \includegraphics[width=4cm, trim={8cm 10cm 8cm 10cm}, clip]{debugMaps/rs2025fwmrzv.png}
1035 \captionof{figure}{Mon estimation (avec les données RaspberryShake)}
1036 \end{minipage}%
1037\begin{minipage}{.5\textwidth}
1038\centering
1039 \includegraphics[width=5cm, trim={0 0 0 0}, clip]{2025-03-25T21:07:44,659295790+01:00-cropped.png}
1040 \captionof{figure}{Estimation de l'USGS}
1041 \end{minipage}
1042\end{center}
1043\end{frame}
1044
1045\section{Bibliographie}
1046\begin{frame}
1047\frametitle{Bibliographie (1/2)}
1048\tiny
1049\begin{thebibliography}{9}
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1086\end{frame}
1087
1088\begin{frame}
1089\frametitle{Bibliographie (2/2)}
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1131\end{document}