1\documentclass{article}
  2
  3\usepackage{fancyhdr}
  4\usepackage{extramarks}
  5\usepackage{amsmath}
  6\usepackage{amsthm}
  7\usepackage{amsfonts}
  8\usepackage{mathabx}
  9\usepackage{tikz}
 10\usepackage[plain]{algorithm}
 11\usepackage{algpseudocode}
 12\usepackage{rotating}
 13\usepackage{stmaryrd}
 14
 15\usetikzlibrary{automata,positioning}
 16
 17%
 18% Basic Document Settings
 19%
 20
 21\topmargin=-0.45in
 22\evensidemargin=0in
 23\oddsidemargin=0in
 24\textwidth=6.5in
 25\textheight=9.0in
 26\headsep=0.25in
 27
 28\linespread{1.1}
 29
 30\pagestyle{fancy}
 31\lhead{\hmwkAuthorName}
 32\chead{\hmwkClass\ (\hmwkClassInstructor): \hmwkTitle}
 33\rhead{\firstxmark}
 34\lfoot{\lastxmark}
 35\cfoot{\thepage}
 36
 37\renewcommand\headrulewidth{0.4pt}
 38\renewcommand\footrulewidth{0.4pt}
 39
 40\setlength\parindent{0pt}
 41
 42%
 43% Create Problem Sections
 44%
 45
 46\newcommand{\enterProblemHeader}[1]{
 47    \nobreak\extramarks{}{Le problème \arabic{#1} se poursuit sur la page suivante\ldots}\nobreak{}
 48    \nobreak\extramarks{Problème \arabic{#1} (poursuit)}{Le problème \arabic{#1} se poursuit sur la page suivante\ldots}\nobreak{}
 49}
 50
 51\newcommand{\exitProblemHeader}[1]{
 52    \nobreak\extramarks{Problème \arabic{#1} (poursuit)}{Le problème \arabic{#1} se poursuit sur la page suivante\ldots}\nobreak{}
 53    \stepcounter{#1}
 54    \nobreak\extramarks{Problème \arabic{#1}}{}\nobreak{}
 55}
 56
 57\setcounter{secnumdepth}{0}
 58\newcounter{partCounter}
 59\newcounter{homeworkProblemCounter}
 60\setcounter{homeworkProblemCounter}{1}
 61\nobreak\extramarks{Problème \arabic{homeworkProblemCounter}}{}\nobreak{}
 62
 63%
 64% Homework Problem Environment
 65%
 66% This environment takes an optional argument. When given, it will adjust the
 67% problem counter. This is useful for when the problems given for your
 68% assignment aren't sequential. See the last 3 problems of this template for an
 69% example.
 70%
 71\newenvironment{homeworkProblem}[1][-1]{
 72    \ifnum#1>0
 73        \setcounter{homeworkProblemCounter}{#1}
 74    \fi
 75    \section{Problème \arabic{homeworkProblemCounter}}
 76    \setcounter{partCounter}{1}
 77    \enterProblemHeader{homeworkProblemCounter}
 78}{
 79    \exitProblemHeader{homeworkProblemCounter}
 80}
 81
 82%
 83% Homework Details
 84%   - Title
 85%   - Due date
 86%   - Class
 87%   - Section/Time
 88%   - Instructor
 89%   - Author
 90%
 91
 92\newcommand{\hmwkTitle}{Khôlle 2}
 93\newcommand{\hmwkDueDate}{2024/09/27}
 94\newcommand{\hmwkClass}{Maths}
 95\newcommand{\hmwkClassInstructor}{M. Fourre}
 96\newcommand{\hmwkAuthorName}{\textbf{Louis Dalibard}}
 97
 98%
 99% Title Page
100%
101
102\title{
103    \vspace{2in}
104    \textmd{\textbf{\hmwkClass:\ \hmwkTitle}}\\
105    \normalsize\vspace{0.1in}\small{\hmwkDueDate}\\
106    \vspace{0.1in}\large{\textit{\hmwkClassInstructor}}
107    \vspace{3in}
108}
109
110\author{\hmwkAuthorName}
111\date{}
112
113\renewcommand{\part}[1]{\textbf{\large Part \Alph{partCounter}}\stepcounter{partCounter}\\}
114
115%
116% Various Helper Commands
117%
118
119% Useful for algorithms
120\newcommand{\alg}[1]{\textsc{\bfseries \footnotesize #1}}
121
122% For derivatives
123\newcommand{\deriv}[1]{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (#1)}
124
125% For partial derivatives
126\newcommand{\pderiv}[2]{\frac{\partial}{\partial #1} (#2)}
127
128% Integral dx
129\newcommand{\dx}{\mathrm{d}x}
130
131% Alias for the Solution section header
132\newcommand{\solution}{\textbf{\large Solution}}
133
134% Probability commands: Expectation, Variance, Covariance, Bias
135\newcommand{\E}{\mathrm{E}}
136\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}
137\newcommand{\Cov}{\mathrm{Cov}}
138\newcommand{\Bias}{\mathrm{Bias}}
139
140\begin{document}
141
142\maketitle
143
144\pagebreak
145
146\begin{homeworkProblem}
147    Soit $F$ un ensemble fini.\\
148    Soit $E=P(F)$\\
149    Ecrire $A \subseteq B$ sous forme d'intersection de relations d'ordre totales dans une famille $( \preccurlyeq _i )_{i\in I}$\\\\
150    \subsection{Définitions}
151    Notons $n=|F|$\\
152    $F$ est fini donc on peut numéroter ses élements.\\
153    $G=\{0,1,2,3,...,n-1\}$\\
154    tel que $F \simeq G$ avec $g$ une bijection associant un unique nombre entre $1$ et $n-1$ pour chaque élement de $F$
155    On peut donc poser la bijection suivante $f: P(F) \rightarrow \llbracket 0;2^n-1\rrbracket$\\
156    \hspace*{7cm} $X \mapsto \sum_{x \in X}2^{g(x)}$
157    \\
158    
159    Prenons $I=F$
160    
161    Pour tout $i \in I$\\
162    On définit la relation $ \preccurlyeq _i $ sur $E$ tel que $A \preccurlyeq _i B \iff (|A\cap \{i\}| < |B\cap \{i\}| \text{ ou } (|A\cap \{i\}| = |B\cap \{i\}| \text{ et } f(g(A)) \leq f(g(B)))$
163    
164    Montrons que pour tout $i \in I, \preccurlyeq _i $ est une relation d'ordre totale.
165    \subsubsection{Réflexivité}
166    Soit $A \in E$\\
167    $A \preccurlyeq _i A$ car $|A\cap \{i\}| = |A\cap \{i\}|$ et $f(g(A))=f(g(A))$
168    \subsubsection{Anti-symétrie}
169    Soit $A,B \in E$, tel que $A \preccurlyeq _i B$ et $B \preccurlyeq _i A$\\
170    $|A\cap \{i\}| < |B\cap \{i\}|$ et $|A\cap \{i\}| > |B\cap \{i\}|$ impossible donc $|A\cap \{i\}| = |B\cap \{i\}|$\\
171    
172    Donc $f(g(A)) \leq f(g(B))$ et $f(g(A)) \geq f(g(B))$\\
173    Donc $f(g(A)) = f(g(B))$
174    Donc $A = B$ par injectivité de $g$ puis de $f$
175    \subsubsection{Transitivité}
176    Soit $A,B,C \in E$, tel que $A \preccurlyeq _i B$ et $B \preccurlyeq _i C$\\
177    Plusieurs cas possibles:
178    \begin{itemize}
179    \item $|A\cap \{i\}| < |B\cap \{i\}|$ et $|B\cap \{i\}| < |C\cap \{i\}|$\\
180    Donc $|A\cap \{i\}| < |C\cap \{i\}|$ et donc $A \preccurlyeq _i C$
181    \item $|A\cap \{i\}| = |B\cap \{i\}| \text{ et } f(g(A)) \leq f(g(B))$ et $|B\cap \{i\}| < |C\cap \{i\}|$\\
182    Donc $|A\cap \{i\}| < |C\cap \{i\}|$ et donc $A \preccurlyeq _i C$
183    \item $|A\cap \{i\}| < |B\cap \{i\}|$ et $|B\cap \{i\}| = |C\cap \{i\}| \text{ et } f(g(B)) \leq f(g(C))$\\
184    Donc $|A\cap \{i\}| < |C\cap \{i\}|$ et donc $A \preccurlyeq _i C$
185    \item $|A\cap \{i\}| = |B\cap \{i\}| \text{ et } f(g(A)) \leq f(g(B))$ et $|B\cap \{i\}| = |C\cap \{i\}| \text{ et } f(g(B)) \leq f(g(C))$\\
186    Donc $|A\cap \{i\}| = |C\cap \{i\}|$ et $f(g(A)) \leq f(g(C))$ et donc $A \preccurlyeq _i C$
187    
188
189    \end{itemize}
190        \subsubsection{Relation d'ordre totale}
191    Soit $A,B \in E$
192    4 cas possibles
193    \begin{itemize}
194    \item $|A\cap \{i\}| < |B\cap \{i\}|$\\
195    Donc $A \preccurlyeq _i B$
196    \item $|B\cap \{i\}| < |A\cap \{i\}|$\\
197    Donc $B \preccurlyeq _i A$
198    \item $|A\cap \{i\}| = |B\cap \{i\}| \text{ et } f(g(A)) \leq f(g(B))$\\
199    Donc $A \preccurlyeq _i B$
200    \item $|A\cap \{i\}| = |B\cap \{i\}| \text{ et } f(g(A)) \geq f(g(B))$\\
201    Donc $B \preccurlyeq _i A$
202    
203    Donc $\forall A,B \in E,\quad A \preccurlyeq _i B \text{ ou } B \preccurlyeq _i A$
204    
205
206    \end{itemize}
207    
208    \subsection{Conclusion}
209    Soit $A,B \in E$\\
210    Montrons que $A \subseteq B \iff \forall x \in I, A \preccurlyeq _i B$ par double implication.\\
211    \subsubsection{Sens 1: Supposons $A \subseteq B$}
212    $Soit x \in I$
213    Trois cas de figure possible:\\
214    \begin{itemize}
215    \item $|A\cap \{i\}| = 0 \text{ et } |B\cap \{i\}| = 1$\\
216    $|A\cap \{i\}| < |B\cap \{i\}|$\\
217    et dans ce cas là $A \preccurlyeq _i B$
218    \item $|A\cap \{i\}| = 1 \text{ et } |B\cap \{i\}| = 1$
219    $|A\cap \{i\}| = |B\cap \{i\}|$\\
220    et dans ce cas là $f(g(A)) \geq f(g(B))$\\
221    Donc $A \preccurlyeq _i B$
222    \item $|A\cap \{i\}| = 0 \text{ et } |B\cap \{i\}| = 0$
223    $|A\cap \{i\}| = |B\cap \{i\}|$\\
224    et dans ce cas là $f(g(A)) \geq f(g(B))$\\
225    Donc $A \preccurlyeq _i B$
226    \end{itemize}
227    Donc $\forall x \in I, A \preccurlyeq _i B$
228    
229    \subsubsection{Sens 2: Supposons $A \nsubseteq B$}
230    Alors il existe un élement $x \in F$, dans $A$ qui n'est pas dans $B$
231    Et pour cet $x$, $A \npreccurlyeq _x B$
232    Donc $\exists x \in I, A \npreccurlyeq _i B$
233    
234    Donc $A \subseteq B \iff \forall x \in I, A \preccurlyeq _i B$
235
236
237\end{homeworkProblem}
238
239\end{document}